El cuarto problema de Hilbert

En matemáticas , el cuarto problema de Hilbert en la lista de problemas de Hilbert de 1900 es una cuestión fundamental en geometría . En un enunciado derivado del original, se trataba de encontrar —hasta un isomorfismo— todas las geometrías que tienen un sistema axiomático de la geometría clásica ( euclidiana , hiperbólica y elíptica ), con aquellos axiomas de congruencia que implican el concepto de ángulo eliminados, y la " desigualdad del triángulo ", considerada como un axioma, añadida.

Si además se supone el axioma de continuidad, entonces, en el caso del plano euclidiano, llegamos al problema planteado por Jean Gaston Darboux : "Determinar todos los problemas de cálculo de variaciones en el plano cuyas soluciones sean todas las rectas planas". ^[1]

Existen varias interpretaciones del enunciado original de David Hilbert . No obstante, se buscó una solución, siendo el matemático alemán Georg Hamel el primero en contribuir a la solución del cuarto problema de Hilbert. ^[2]

En 1973, el matemático soviético Aleksei Pogorelov propuso una solución reconocida. ^{[3] [4]} En 1976, el matemático armenio Rouben V. Ambartzumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert. ^[5]

Hilbert analiza la existencia de la geometría no euclidiana y la geometría no arquimediana

...una geometría en la que se cumplen todos los axiomas de la geometría euclidiana ordinaria, y en particular todos los axiomas de congruencia excepto el de congruencia de triángulos (o todos excepto el teorema de la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles), y en la que, además, se supone como axioma particular la proposición de que en todo triángulo la suma de dos lados es mayor que el tercero. ^[6]

Debido a la idea de que una "línea recta" se define como el camino más corto entre dos puntos, menciona cómo la congruencia de los triángulos es necesaria para la prueba de Euclides de que una línea recta en el plano es la distancia más corta entre dos puntos. Lo resume de la siguiente manera:

El teorema de la línea recta como distancia más corta entre dos puntos y el teorema de Euclides, esencialmente equivalente, sobre los lados de un triángulo, desempeñan un papel importante no sólo en la teoría de números, sino también en la teoría de superficies y en el cálculo de variaciones. Por esta razón, y porque creo que la investigación a fondo de las condiciones de validez de este teorema arrojará nueva luz sobre la idea de distancia, así como sobre otras ideas elementales, por ejemplo, sobre la idea de plano y la posibilidad de su definición por medio de la idea de línea recta, me parece deseable la construcción y el tratamiento sistemático de las geometrías aquí posibles. ^[6]

Teorema de Desargues :

Si dos triángulos se encuentran en un plano tal que las líneas que conectan los vértices correspondientes de los triángulos se encuentran en un punto, entonces los tres puntos en los que se intersecan las prolongaciones de tres pares de lados correspondientes de los triángulos se encuentran en una línea.

La condición necesaria para resolver el cuarto problema de Hilbert es el requisito de que un espacio métrico que satisfaga los axiomas de este problema sea desarguesiano, es decir:

• Si el espacio es de dimensión 2, entonces el teorema de Desargues y su inverso deberían cumplirse;
• Si el espacio tiene una dimensión mayor que 2, entonces tres puntos cualesquiera deben estar en un plano.

Para los espacios desarguesianos, Georg Hamel demostró que toda solución del cuarto problema de Hilbert puede representarse en un espacio proyectivo real o en un dominio convexo si se determina la congruencia de segmentos por la igualdad de sus longitudes en una métrica especial para la cual las líneas del espacio proyectivo son geodésicas. $Estilo de visualización RP$$Estilo de visualización RP$

Las métricas de este tipo se denominan planas o proyectivas .

Así, la solución del cuarto problema de Hilbert se redujo a la solución del problema de la determinación constructiva de todas las métricas planas completas.

Hamel resolvió este problema bajo el supuesto de una alta regularidad de la métrica. ^[2] Sin embargo, como muestran ejemplos simples, la clase de métricas planas regulares es menor que la clase de todas las métricas planas. Los axiomas de las geometrías en consideración implican solo una continuidad de las métricas. Por lo tanto, para resolver completamente el cuarto problema de Hilbert es necesario determinar constructivamente todas las métricas planas continuas.

Antes de 1900 se conocía el modelo de Cayley-Klein de la geometría de Lobachevsky en el disco unitario, según el cual las líneas geodésicas son cuerdas del disco y la distancia entre puntos se define como un logaritmo de la razón cruzada de un cuádruple. Para las métricas riemannianas bidimensionales, Eugenio Beltrami (1835-1900) demostró que las métricas planas son las métricas de curvatura constante. ^[7]

Para las métricas de Riemann multidimensionales, esta afirmación fue demostrada por E. Cartan en 1930.

En 1890, para resolver problemas sobre la teoría de números, Hermann Minkowski introdujo una noción del espacio que hoy en día se llama espacio de Banach de dimensión finita . ^[8]

Sea una hipersuperficie convexa compacta en un espacio euclidiano definido por ${\displaystyle F_{0}\subconjunto \mathbb {E} ^{n}}$

${\displaystyle F_{0}=\{y\en E^{n}:F(y)=1\},}$

donde la función satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle F=F(y)}$

1. ${\displaystyle F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0;}$
2. ${\displaystyle F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0;}$
3. ${\displaystyle F(y)\en C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3;}$
4. y la forma es positivamente definida.${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}F^{2}}{\parcial y^{i}\,\parcial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0}$

La longitud del vector OA está definida por:

${\displaystyle \|OA\|_{M}={\frac {\|OA\|_{\mathbb {E} }}{\|OL\|_{\mathbb {E} }}}.}$

Un espacio con esta métrica se llama espacio de Minkowski .

La hipersuperficie es convexa y puede ser irregular. La métrica definida es plana. $Estilo de visualización F_{0}$

Sean M y una variedad finitodimensional suave y su fibrado tangente, respectivamente. La función se denomina métrica de Finsler si ${\displaystyle TM=\{(x,y)|x\en M,y\en T_{x}M\}}$${\displaystyle F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )}$

1. ${\displaystyle F(x,y)\en C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}$;
2. Para cualquier punto la restricción de encendido es la norma de Minkowski.${\displaystyle x\en M}$${\displaystyle F(x,y)}$$Estilo de visualización T_{x}M$

${\estilo de visualización (M,F)}$es el espacio de Finsler .

Sea un conjunto convexo abierto acotado con el límite de clase C ² y curvaturas normales positivas. De manera similar al espacio de Lobachevsky, la hipersuperficie se denomina el absoluto de la geometría de Hilbert. ^[9]${\displaystyle U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|\cdot \|_{\mathbb {E} })}$${\displaystyle \U parcial}$

La distancia de Hilbert (ver figura) está definida por

${\displaystyle d_{U}(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E}}{\|q-p_{1}\|_{E}}}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E}}{\|p-q_{1}\|_{E}}}.}$

La distancia induce la métrica de Hilbert-Finsler en U . Para cualquier y (ver figura), tenemos $estilo de visualización d_{U}}$ $Estilo de visualización F_ {U}}$${\displaystyle x\en U}$${\displaystyle y\in T_{x}U}$

${\displaystyle F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x-x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).}$

La métrica es simétrica y plana. En 1895, Hilbert introdujo esta métrica como una generalización de la geometría de Lobachevsky. Si la hipersuperficie es un elipsoide, entonces tenemos la geometría de Lobachevsky. ${\displaystyle \U parcial}$

En 1930, Funk introdujo una métrica no simétrica, definida en un dominio delimitado por una hipersuperficie convexa cerrada y también plana.

Georg Hamel fue el primero en contribuir a la solución del cuarto problema de Hilbert. ^[2] Demostró la siguiente afirmación.

Teorema . Una métrica regular de Finsler es plana si y sólo si satisface las condiciones: ${\displaystyle F(x,y)=F(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\parcial ^{2}F^{2}}{\parcial x^{i}\,\parcial y^{j}}}={\frac {\parcial ^{2}F^{2}}{\parcial x^{j}\,\parcial y^{i}}},\,i,j=1,\ldots ,n.}$

Consideremos un conjunto de todas las líneas orientadas en un plano. Cada línea está definida por los parámetros y donde es una distancia desde el origen hasta la línea, y es un ángulo entre la línea y el eje x . Entonces el conjunto de todas las líneas orientadas es homeomorfo a un cilindro circular de radio 1 con el elemento de área . Sea una curva rectificable en un plano. Entonces la longitud de es donde es un conjunto de líneas que intersecan la curva , y es el número de intersecciones de la línea con . Crofton demostró esta afirmación en 1870. ^[10]${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización \varphi ,}$${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle dS=d\rho \,d\varphi }$${\estilo de visualización \gamma}$${\estilo de visualización \gamma}$$${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint _ {\Omega }n(\rho ,\varphi )\,dp\,d\varphi }$$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle n(p,\varphi )}$${\estilo de visualización \gamma}$

Una afirmación similar se aplica a un espacio proyectivo.

En 1966, en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticas de Moscú, Herbert Busemann introdujo una nueva clase de métricas planas. Sobre un conjunto de líneas en el plano proyectivo introdujo una medida no negativa completamente aditiva que satisface las siguientes condiciones: $Estilo de visualización RP2$${\estilo de visualización \sigma}$

1. ${\displaystyle \sigma(\tau P)=0}$, donde es un conjunto de líneas rectas que pasan por un punto P ;${\displaystyle \tau P}$
2. ${\displaystyle \sigma(\tauX)>0}$, donde es un conjunto de líneas rectas que pasan por algún conjunto X que contiene un segmento de línea recta;${\displaystyle \tau X}$
3. ${\displaystyle \sigma (RP^{n})}$es finito

Si consideramos una -métrica en un dominio convexo arbitrario de un espacio proyectivo , entonces la condición 3) debe reemplazarse por la siguiente: para cualquier conjunto H tal que H esté contenido en y la clausura de H no interseca el límite de , la desigualdad ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \Omega}$$Estilo de visualización RP2$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$

${\displaystyle \sigma (\pi H)<\infty}$sostiene. ^[11]

Usando esta medida, la -métrica se define por ${\estilo de visualización \sigma}$$Estilo de visualización RP2$

${\displaystyle |x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),}$

donde es el conjunto de rectas que intersecan el segmento . ${\displaystyle \tau[x,y]}$${\estilo de visualización [x,y]}$

La desigualdad triangular para esta métrica se deriva del teorema de Pasch .

Teorema . -métrico sobre es plano, es decir, las geodésicas son las rectas del espacio proyectivo. ${\estilo de visualización \sigma}$$Estilo de visualización RP2$

Pero Busemann estaba lejos de la idea de que las métricas - agotan todas las métricas planas. Escribió: "La libertad en la elección de una métrica con geodésicas dadas es para las métricas no riemannianas tan grande que puede dudarse de si realmente existe una caracterización convincente de todos los espacios desarguesianos" . ^[11]${\estilo de visualización \sigma}$

El siguiente teorema fue demostrado por Pogorelov en 1973 ^{[3] [4]}

Teorema . Toda métrica plana completa y continua bidimensional es una -métrica.${\estilo de visualización \sigma}$

De esta forma, el cuarto problema de Hilbert para el caso bidimensional quedó completamente resuelto.

Una consecuencia de esto es que puedes pegar borde con borde dos copias de la misma forma convexa plana, con un giro de ángulo entre ellas, obtendrás un objeto 3D sin líneas de pliegue, siendo las dos caras desarrollables .

En 1976, Ambartsumian propuso otra prueba del cuarto problema de Hilbert. ^[5]

Su demostración se basa en el hecho de que en el caso bidimensional toda la medida puede ser restaurada por sus valores en biángulos, y por lo tanto definida en triángulos de la misma manera que el área de un triángulo está definida en una esfera. Puesto que la desigualdad de los triángulos se cumple, se deduce que esta medida es positiva en triángulos no degenerados y está determinada en todos los conjuntos de Borel . Sin embargo, esta estructura no puede ser generalizada a dimensiones superiores debido al tercer problema de Hilbert resuelto por Max Dehn .

En el caso bidimensional, los polígonos con el mismo volumen son congruentes con las tijeras. Como demostró Dehn, esto no es así para una dimensión superior.

Para el caso tridimensional Pogorelov demostró el siguiente teorema.

Teorema. Toda métrica plana regular tridimensional completa es una -métrica.${\estilo de visualización \sigma}$

Sin embargo, en el caso tridimensional las medidas pueden tomar valores positivos o negativos. Las condiciones necesarias y suficientes para que la métrica regular definida por la función del conjunto sea plana son las tres condiciones siguientes: ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \sigma}$

1. el valor en cualquier plano es igual a cero,${\estilo de visualización \sigma}$
2. El valor en cualquier cono no es negativo,${\estilo de visualización \sigma}$
3. El valor es positivo si el cono contiene puntos interiores.${\estilo de visualización \sigma}$

Además, Pogorelov demostró que cualquier métrica plana continua completa en el caso tridimensional es el límite de las métricas regulares con convergencia uniforme en cualquier subdominio compacto del dominio de la métrica. Las llamó métricas generalizadas. ${\estilo de visualización \sigma}$${\estilo de visualización \sigma}$

De esta manera Pogorelov pudo demostrar la siguiente afirmación:

Teorema. En el caso tridimensional, cualquier métrica plana continua y completa es una -métrica en sentido general.${\estilo de visualización \sigma}$

Busemann, en su reseña del libro de Pogorelov "El cuarto problema de Hilbert", escribió: "En el espíritu de la época, Hilbert se limitó a n = 2, 3 y lo mismo hace Pogorelov. Sin embargo, esto tiene sin duda razones pedagógicas, porque se dirige a una amplia clase de lectores. La verdadera diferencia está entre n = 2 y n > 2. El método de Pogorelov funciona para n > 3, pero requiere mayores tecnicismos". ^[12]

El caso multidimensional del cuarto problema de Hilbert fue estudiado por Szabo. ^[13] En 1986, demostró, como escribió, el teorema generalizado de Pogorelov.

Teorema. Cada espacio desarguesiano n -dimensional de la clase , se genera mediante la construcción de Blaschke-Busemann. $Estilo de visualización C^{n+2},n>2}$

Una medida que genera una medida plana tiene las siguientes propiedades: ${\estilo de visualización \sigma}$

1. la medida de los hiperplanos que pasan por un punto fijo es igual a cero;${\estilo de visualización \sigma}$
2. la medida del conjunto de hiperplanos que intersecan dos segmentos [ x , y ], [ y , z ], donde x , y та z no son colineales, es positiva.${\estilo de visualización \sigma}$

Se dio el ejemplo de una métrica plana no generada por la construcción de Blaschke-Busemann. Szabo describió todas las métricas planas continuas en términos de funciones generalizadas.

El cuarto problema de Hilbert también está estrechamente relacionado con las propiedades de los cuerpos convexos . Un poliedro convexo se llama zonotopo si es la suma de segmentos de Minkowski . Un cuerpo convexo que es un límite de zonotopos en la métrica de Blaschke-Hausdorff se llama zonoide . Para los zonoides, la función de soporte está representada por

donde es una medida de Borel positiva par en una esfera . ${\displaystyle \sigma(u)}$$Estilo de visualización S^{n-1}}$

El espacio de Minkowski se genera mediante la construcción de Blaschke-Busemann si y solo si la función de soporte de la indicatriz tiene la forma de (1), donde es par y no necesariamente de medida de Borel positiva. ^[14] Los cuerpos delimitados por tales hipersuperficies se denominan zonoides generalizadas . ${\displaystyle \sigma(u)}$

El octaedro en el espacio euclidiano no es un zonide generalizado. De la afirmación anterior se desprende que la métrica plana del espacio de Minkowski con la norma no se genera mediante la construcción de Blaschke-Busemann. ${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leq 1}$$Estilo de visualización E3$${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\}}$

Se encontró la correspondencia entre las métricas de Finsler n -dimensionales planas y las formas simplécticas especiales en la variedad de Grassmann в . ^[15]${\displaystyle G(n+1,2)}$$Estilo de visualización E^{n+1}}$

Se consideraron soluciones periódicas del cuarto problema de Hilbert:

1. Sea ( M , g ) una variedad riemanniana localmente euclidiana compacta. Supóngase que se da una métrica de Finsler en M con las mismas geodésicas que en la métrica g . Entonces, la métrica de Finsler es la suma de una métrica localmente de Minkovski y una 1-forma cerrada. ^[16]${\estilo de visualización C^{2}}$
2. Sea ( M , g ) un espacio de Riemann simétrico compacto de rango mayor que uno. Si F es una métrica de Finsler simétrica cuyas geodésicas coinciden con las geodésicas de la métrica de Riemann g , entonces ( M , g ) es un espacio de Finsler simétrico. ^[16] El análogo de este teorema para espacios simétricos de rango uno aún no ha sido demostrado.${\estilo de visualización C^{2}}$

Otra exposición del cuarto problema de Hilbert se puede encontrar en el trabajo de Paiva. ^[17]

1. El cuarto problema de Hilbert para la métrica de Finsler no simétrica aún no ha sido resuelto.
2. No se ha proporcionado la descripción de la métrica para la cual los k -planos minimizan el área k (Busemann). ^[18]$Estilo de visualización RP$

• Busemann, Herbert (1976). "Problema IV. Espacios desarguesianos". En Browder, Felix E. (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Vol. XXVIII. Sociedad Matemática Americana . págs. 131–141. ISBN. 0-8218-1428-1.Zbl 0352.50010  .
• Papadopoulos, Athanase (2014). "El cuarto problema de Hilbert". Manual de geometría de Hilbert (A. Papadopoulos y M. Troyanov, ed.) . IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics. Vol. 22. European Mathematical Society . págs. 391–432. ISBN 978-3-03719-147-7.