Forma normal de Hesse

En geometría analítica , la forma normal de Hesse (llamada así en honor a Otto Hesse ) es una ecuación que se utiliza para describir una línea en el plano euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, un plano en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, o un hiperplano en dimensiones superiores . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se utiliza principalmente para calcular distancias (véase distancia punto-plano y distancia punto-línea ).

Se escribe en notación vectorial como

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

El punto${\displaystyle \cdot }$Indica el producto escalar (o producto punto ). Vector${\displaystyle {\vec {r}}}$apunta desde el origen del sistema de coordenadas, O , a cualquier punto P que se encuentre precisamente en el plano o en la línea E. El vector${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$representa el vector normal unitario del plano o línea E. La distancia${\displaystyle d\geq 0}$es la distancia más corta desde el origen O hasta el plano o la línea.

Nota: Para simplificar, la siguiente deducción se centra en el caso tridimensional. Sin embargo, también es aplicable en dos dimensiones.

En su forma normal,

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$

Un plano viene dado por un vector normal.${\displaystyle {\vec {n}}}$así como un vector de posición arbitrario${\displaystyle {\vec {a}}}$de un punto${\displaystyle A\in E}$. La dirección de${\displaystyle {\vec {n}}}$se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$

Al dividir el vector normal${\displaystyle {\vec {n}}}$por su magnitud${\displaystyle |{\vec {n}}|}$, obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$

Sustituyendo

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$

obtenemos la forma normal de Hesse

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Porque${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$Se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector desde el origen se encuentra con el plano E), con${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$, según la definición del producto escalar

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$

La magnitud${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$de${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$es la distancia más corta desde el origen hasta el plano.

La cuadratura (distancia al cuadrado) desde una línea${\displaystyle ax+by+c=0}$hasta cierto punto${\displaystyle (x,y)}$es

${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Si${\displaystyle (a,b)}$tiene longitud unitaria entonces esto se convierte en${\displaystyle (ax+by+c)^{2}.}$

• Weisstein, Eric W. "Forma normal hessiana" . MathWorld .