Número de Hermite

En matemáticas , los números de Hermite son valores de polinomios de Hermite con argumento cero. Generalmente se definen para los polinomios de Hermite utilizados por los físicos.

Los números H _n = H _n (0), donde H _n ( x ) es un polinomio de Hermite de orden n , pueden llamarse números de Hermite. ^{[ 1 ]}

Los primeros números de Hermite son:

${\displaystyle H_{0}=1\,}$

${\displaystyle H_{1}=0\,}$

${\displaystyle H_{2}=-2\,}$

${\displaystyle H_{3}=0\,}$

${\displaystyle H_{4}=+12\,}$

${\displaystyle H_{5}=0\,}$

${\displaystyle H_{6}=-120\,}$

${\displaystyle H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

Se obtienen a partir de relaciones de recurrencia de polinomios hermíticos para x = 0:

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

Dado que H ₀ = 1 y H ₁ = 0, se puede construir una fórmula cerrada para H _n :

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}\end{cases}}}$

donde ( n − 1)!! = 1 × 3 × ... × ( n − 1).

De la función generadora de polinomios hermíticos se deduce que

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$

La referencia ^{[ 1 ]} proporciona una serie de potencias formal :

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

donde formalmente la n -ésima potencia de H , H ⁿ , es el n -ésimo número de Hermite, H _n . (Véase Cálculo Umbral ).