Constante de Hermite

En matemáticas , la constante de Hermite , que recibe su nombre de Charles Hermite , determina la longitud máxima que puede tener el elemento más corto de una red en el espacio euclidiano .

La constante${\displaystyle \gamma _{n}}$para números enteros${\displaystyle n>0}$se define de la siguiente manera. Para una red${\displaystyle L}$en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con covolumen unitario, es decir${\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/L)=1}$, dejar${\displaystyle \lambda _ {1}(L)}$denota la longitud mínima de un elemento distinto de cero de${\displaystyle L}$. Entonces${\displaystyle {\sqrt {\gamma _ {n}}}}$es el máximo de${\displaystyle \lambda _ {1}(L)}$sobre todas esas redes${\displaystyle L}$.

La raíz cuadrada en la definición de la constante de Hermite es una cuestión de convención histórica.

Alternativamente, la constante de Hermite${\displaystyle \gamma _{n}}$se puede definir como el cuadrado de la sístole máxima de un plano${\displaystyle n}$-toro dimensional de volumen unitario.

La constante de Hermite se conoce en las dimensiones 1 a 8 y 24.

Para${\displaystyle n=2}$, uno tiene${\displaystyle \gamma _{2}=2/{\sqrt {3}}}$Este valor se alcanza mediante la red hexagonal de los enteros de Eisenstein , escalada para tener un paralelogramo fundamental con área unitaria. ^{[ 1 ]}

Se sabe que ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.}$$

Una estimación más sólida debida a Hans Frederick Blichfeldt ^{[ 3 ]} es ^{[ 4 ].}

$${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},}$$ dónde${\displaystyle \Gamma (x)}$es la función gamma .

• Desigualdad del toro de Loewner
• Teorema de Minkowski

• Cassels, JWS (1997). Introducción a la geometría de los números . Clásicos en matemáticas (Reimpresión de la  edición de 1971). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol.  106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 . 
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1467 (2.ª  ed.). Springer-Verlag . p.  9. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 .