Cadena Harris

En el estudio matemático de los procesos estocásticos , una cadena de Harris es una cadena de Markov en la que la cadena retorna a una parte particular del espacio de estados un número ilimitado de veces. ^[1] Las cadenas de Harris son procesos regenerativos y reciben su nombre de Theodore Harris . La teoría de las cadenas de Harris y la recurrencia de Harris es útil para tratar las cadenas de Markov en espacios de estados generales (posiblemente infinitos e incontables).

Sea una cadena de Markov en un espacio de estados general con núcleo estocástico . El núcleo representa una ley de probabilidad de transición generalizada de un paso, de modo que para todos los estados en y todos los conjuntos medibles . La cadena es una cadena de Harris ^[2] si existe , y medida de probabilidad con tal que ${\displaystyle \{X_{n}\}}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=K(x,C)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C\subseteq \Omega }$${\displaystyle \{X_{n}\}}$${\displaystyle A\subseteq \Omega ,\varepsilon >0}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho (\Omega )=1}$

1. Si , entonces para todos .${\displaystyle \tau _{A}:=\inf\{n\geq 0:X_{n}\in A\}}$${\displaystyle P(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x)=1}$${\displaystyle x\in \Omega }$
2. Si y (donde es medible), entonces .${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle C\subseteq \Omega }$${\displaystyle C}$${\displaystyle K(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)}$

La primera parte de la definición asegura que la cadena regresa a algún estado dentro de con probabilidad 1, independientemente de dónde comience. De ello se deduce que visita el estado infinitamente a menudo (con probabilidad 1). La segunda parte implica que una vez que la cadena de Markov está en el estado , su siguiente estado puede generarse con la ayuda de un lanzamiento de moneda de Bernoulli independiente. Para ver esto, primero observe que el parámetro debe estar entre 0 y 1 (esto se puede demostrar aplicando la segunda parte de la definición al conjunto ). Ahora sea un punto en y supongamos . Para elegir el siguiente estado , lance independientemente una moneda sesgada con probabilidad de éxito . Si el lanzamiento de la moneda es exitoso, elija el siguiente estado de acuerdo con la medida de probabilidad . De lo contrario (y si ), elija el siguiente estado de acuerdo con la medida (definida para todos los subconjuntos medibles ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C=\Omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X_{n}=x}$${\displaystyle X_{n+1}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle X_{n+1}\in \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \varepsilon <1}$${\displaystyle X_{n+1}}$${\displaystyle P(X_{n+1}\in C\mid X_{n}=x)=(K(x,C)-\varepsilon \rho (C))/(1-\varepsilon )}$${\displaystyle C\subseteq \Omega }$

Dos procesos aleatorios y que tienen la misma ley de probabilidad y son cadenas de Harris según la definición anterior se pueden acoplar de la siguiente manera: Supóngase que y , donde y son puntos en . Utilizando el mismo lanzamiento de moneda para decidir el siguiente estado de ambos procesos, se deduce que los siguientes estados son los mismos con una probabilidad de al menos . ${\displaystyle \{X_{n}\}}$${\displaystyle \{Y_{n}\}}$${\displaystyle X_{n}=x}$${\displaystyle Y_{n}=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$

Sea Ω un espacio de estados contable. El núcleo K está definido por las probabilidades de transición condicional de un paso P[ X _{n +1} = y | X _n  =  x ] para x , y ∈ Ω. La medida ρ es una función de masa de probabilidad sobre los estados, de modo que ρ ( x ) ≥ 0 para todo x ∈ Ω, y la suma de las probabilidades ρ ( x ) es igual a uno. Supongamos que la definición anterior se satisface para un conjunto dado A ⊆ Ω y un parámetro dado ε > 0. Entonces P[ X _{n +1} = c | X _n = x ] ≥ ερ ( c ) para todo x ∈ A y todo c ∈ Ω.

Sea { X _n },  X _n ∈ R ^d una cadena de Markov con un núcleo absolutamente continuo con respecto a la medida de Lebesgue :

K ( x , dy ) = K ( x , y )  dy

tal que K ( x , y ) es una función continua .

Elija ( x ₀ ,  y ₀ ) tal que K ( x ₀ ,  y ₀ ) > 0, y sean A y Ω conjuntos abiertos que contienen x ₀ e y ₀ respectivamente que son suficientemente pequeños para que K ( x ,  y ) ≥ ε > 0 en A  × Ω. Dejando ρ ( C ) = |Ω ∩  C |/|Ω| donde |Ω| es la medida de Lebesgue de Ω, tenemos que (2) en la definición anterior se cumple. Si (1) se cumple, entonces { X _n } es una cadena de Harris.

En lo que sigue , ie es la primera vez después del tiempo 0 que el proceso entra en la región . Sea ie la distribución inicial de la cadena de Markov . ${\displaystyle R:=\inf\{n\geq 1:X_{n}\in A\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X_{0}\sim \mu }$

Definición: Si para todos , , entonces la cadena de Harris se llama recurrente.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}$

Definición: Una cadena de Harris recurrente es aperiódica si , tal que ,${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \exists N}$${\displaystyle \forall n\geq N}$${\displaystyle \forall \mu ,P[X_{n}\in A|X_{0}\in A]>0}$

Teorema: Sea una cadena de Harris recurrente aperiódica con distribución estacionaria . Si entonces como , donde denota la variación total para medidas con signo definidas en el mismo espacio medible. ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle P[R<\infty |X_{0}\in A]=1}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle ||{\mathcal {L}}(X_{n}|X_{0})-\pi ||_{TV}\rightarrow 0}$${\displaystyle ||\cdot ||_{TV}}$