Coordenadas armónicas

En la geometría riemanniana , una rama de las matemáticas , las coordenadas armónicas son un tipo particular de sistema de coordenadas en una variedad diferenciable , determinado por una métrica riemanniana en dicha variedad. Son útiles en muchos problemas de análisis geométrico debido a sus propiedades de regularidad.

En dos dimensiones, ciertas coordenadas armónicas conocidas como coordenadas isotérmicas se han estudiado desde principios del siglo XIX. Las coordenadas armónicas en dimensiones superiores fueron desarrolladas inicialmente en el contexto de la geometría lorentziana y la relatividad general por Albert Einstein y Cornelius Lanczos (véase condición de coordenadas armónicas ). ^{[ 1 ]} Tras el trabajo de Dennis DeTurck y Jerry Kazdan en 1981, comenzaron a desempeñar un papel importante en la literatura de análisis geométrico , aunque Idzhad Sabitov y SZ Šefel habían realizado el mismo descubrimiento cinco años antes. ^{[ 2 ]}

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana de dimensión n . Se dice que una carta de coordenadas ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , definida en un subconjunto abierto U de M , es armónica si cada función de coordenadas individual x ⁱ es una función armónica en U . ^{[ 3 ]} Es decir, se requiere que

${\displaystyle \Delta ^{g}x^{i}=0.\,}$

donde ∆ ^g es el operador de Laplace-Beltrami . Trivialmente, el sistema de coordenadas es armónico si y solo si, como una aplicación U → ℝ ⁿ , las coordenadas son una aplicación armónica . Un cálculo directo con la definición local del operador de Laplace-Beltrami muestra que ( x ¹ , ..., x ⁿ ) es una carta de coordenadas armónica si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k}=0{\text{ para todo }}k=1,\ldots ,n,}$

donde Γ ^k _ij son los símbolos de Christoffel de la carta dada. ^{[ 4 ]} En relación con una carta de coordenadas de "fondo" fija ( V , y ) , se puede ver ( x ¹ , ..., x ⁿ ) como una colección de funciones x ∘ y ⁻¹ en un subconjunto abierto del espacio euclidiano. El tensor métrico relativo a x se obtiene del tensor métrico relativo a y mediante un cálculo local relacionado con las primeras derivadas de x ∘ y ⁻¹ , y por lo tanto los símbolos de Christoffel relativos a x se calculan a partir de las segundas derivadas de x ∘ y ⁻¹ . Así pues, ambas definiciones de coordenadas armónicas, como se ha dado anteriormente, tienen el carácter cualitativo de estar relacionadas con ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden para las funciones de coordenadas.

Utilizando la definición de los símbolos de Christoffel, la fórmula anterior es equivalente a:

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}.}$

Las coordenadas armónicas siempre existen (localmente), un resultado que se deduce fácilmente de los resultados estándar sobre la existencia y regularidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . ^{[ 5 ]} En particular, la ecuación ∆ ^g u ^j = 0 tiene una solución en algún conjunto abierto alrededor de cualquier punto p dado , de modo que u ( p ) y du _p están ambos prescritos.

El teorema de regularidad básico relativo a la métrica en coordenadas armónicas establece que si los componentes de la métrica se encuentran en el espacio de Hölder C ^{k , α} cuando se expresan en alguna carta de coordenadas, independientemente de la suavidad de la propia carta, entonces la función de transición de esa carta de coordenadas a cualquier carta de coordenadas armónicas estará en el espacio de Hölder C ^{k + 1, α} . ^{[ 6 ]} En particular, esto implica que la métrica también estará en C ^{k , α} con respecto a las cartas de coordenadas armónicas. ^{[ 7 ]}

Como descubrió por primera vez Cornelius Lanczos en 1922, en relación con una carta de coordenadas armónicas, la curvatura de Ricci viene dada por

${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\sum _{a,b=1}^{n}g^{ab}{\frac {\partial ^{2}g_{ij}}{\partial x^{a}\partial x^{b}}}+\partial g\ast \partial g\ast g^{-1}\ast g^{-1}.}$

El aspecto fundamental de esta fórmula es que, para cualquier i y j fijos , el primer término del lado derecho es un operador elíptico aplicado a la función definida localmente g _ij . Por lo tanto, es automático a partir de la regularidad elíptica , y en particular de las estimaciones de Schauder , que si g es C ² y Ric(g) es C ^{k , α} con respecto a una carta de coordenadas armónicas, entonces g es C ^{k + 2, α} con respecto a la misma carta. ^{[ 8 ]} Más generalmente, si g es C ^{k , α} (con k mayor que uno) y Ric(g) es C ^{l , α} con respecto a algunas cartas de coordenadas, entonces la función de transición a una carta de coordenadas armónicas será C ^{k + 1, α} , y por lo tanto Ric(g) será C ^{min( l , k ), α} en cartas de coordenadas armónicas. Por lo tanto, por el resultado anterior, g será C ^{min( l , k ) + 2, α} en cartas de coordenadas armónicas. ^{[ 9 ]}

Como aplicación adicional de la fórmula de Lanczos, se deduce que una métrica de Einstein es analítica en coordenadas armónicas. ^{[ 10 ]} En particular, esto muestra que cualquier métrica de Einstein en una variedad diferenciable determina automáticamente una estructura analítica en la variedad, dada por el conjunto de cartas de coordenadas armónicas.

Debido al análisis anterior, al hablar de coordenadas armónicas, es habitual considerar métricas riemannianas que sean al menos dos veces continuamente diferenciables. Sin embargo, con el uso de espacios funcionales más exóticos , los resultados anteriores sobre la existencia y regularidad de coordenadas armónicas pueden extenderse a contextos donde la métrica tiene una regularidad muy débil. ^{[ 11 ]}

Robert Bartnik utilizó coordenadas armónicas para comprender las propiedades geométricas de las variedades riemannianas asintóticamente planas . ^{[ 12 ]} Supongamos que tenemos una variedad riemanniana completa ( M , g ) , y que existe un subconjunto compacto K de M junto con un difeomorfismo Φ de M ∖ K a ℝ ⁿ ∖ B _R (0) , tal que Φ ^* g , en relación con la métrica euclidiana estándar δ en ℝ ⁿ ∖ B _R (0) , tiene autovalores uniformemente acotados superior e inferiormente por números positivos, y tal que (Φ ^* g )( x ) converge, en algún sentido preciso, a δ cuando x diverge al infinito. Dicho difeomorfismo se conoce como una estructura en el infinito o como coordenadas asintóticamente planas para ( M , g ) . ^{[ 13 ]}

El resultado principal de Bartnik es que la colección de coordenadas asintóticamente planas (si no es vacía) tiene una estructura asintótica simple, en la que la función de transición entre dos coordenadas asintóticamente planas cualesquiera se aproxima, cerca del infinito, mediante una transformación afín . ^{[ 14 ]} Esto es significativo para establecer que la energía ADM de una variedad riemanniana asintóticamente plana es un invariante geométrico que no depende de la elección de coordenadas asintóticamente planas. ^{[ 15 ]}

La herramienta clave para establecer este hecho es la aproximación de coordenadas asintóticamente planas arbitrarias para ( M , g ) mediante coordenadas asintóticamente planas que son armónicas. El trabajo técnico clave consiste en el establecimiento de una teoría de Fredholm para el operador de Laplace-Beltrami, cuando actúa entre ciertos espacios de Banach de funciones en M que decaen en el infinito. ^{[ 16 ]} Entonces, dadas cualesquiera coordenadas asintóticamente planas Φ , del hecho de que

${\displaystyle \Delta ^{g}\Phi ^{k}=-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\Gamma _{ij}^{k},}$

que decae en el infinito, se deduce de la teoría de Fredholm que existen funciones z ^k que decaen en el infinito tales que Δ ^g Φ ^k = Δ ^g z ^k , y por lo tanto que Φ ^k − z ^k son armónicas. Esto proporciona las coordenadas armónicas asintóticamente planas deseadas. El resultado principal de Bartnik se deduce entonces del hecho de que el espacio vectorial de funciones armónicas que decaen asintóticamente en M tiene dimensión n + 1 , lo que tiene como consecuencia que cualesquiera dos coordenadas armónicas asintóticamente planas en M están relacionadas por una transformación afín. ^{[ 17 ]}

El trabajo de Bartnik se basa en la existencia de coordenadas asintóticamente planas. Partiendo de sus métodos, Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue y Hiraku Nakajima demostraron que la disminución de la curvatura en función de la distancia a un punto, junto con el crecimiento polinomial del volumen de grandes bolas geodésicas y la conectividad simple de sus complementos, implica la existencia de coordenadas asintóticamente planas. ^{[ 18 ]} Lo esencial es que sus supuestos geométricos, mediante algunos de los resultados que se discuten más adelante sobre el radio armónico, proporcionan un buen control sobre las coordenadas armónicas en regiones cercanas al infinito. Mediante el uso de una partición de la unidad , estas coordenadas armónicas pueden combinarse para formar una única carta de coordenadas, que es el objetivo principal. ^{[ 19 ]}

Un resultado fundamental, debido a Michael Anderson , es que dada una variedad riemanniana suave, cualquier número positivo α entre 0 y 1 y cualquier número positivo Q , hay un número r que depende de α , de Q , de los límites superior e inferior de la curvatura de Ricci, de la dimensión y de un límite inferior positivo para el radio de inyectividad, de tal manera que cualquier bola geodésica de radio menor que r es el dominio de coordenadas armónicas, con respecto al cual el tamaño C ^{1, α} de g y la proximidad uniforme de g a la métrica euclidiana están controlados por Q. ^{[ 20} ] Esto también puede reformularse en términos de "normas" ^de variedades riemannianas puntiagudas, donde la norma C ^{1, α} en una escala r corresponde al valor óptimo de Q para coordenadas armónicas cuyos dominios son bolas geodésicas de radio r . ^{[ 21 ]} Varios autores han encontrado versiones de tales estimaciones de "radio armónico", tanto antes como después del trabajo de Anderson. ^{[ 22 ]} El aspecto esencial de la demostración es el análisis, mediante métodos estándar de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , de la fórmula de Lanczos para la curvatura de Ricci en una carta de coordenadas armónicas. ^{[ 23 ]}

Así pues, en términos generales, el uso de coordenadas armónicas demuestra que las variedades riemannianas pueden cubrirse con cartas de coordenadas en las que las representaciones locales de la métrica riemanniana están controladas únicamente por el comportamiento geométrico cualitativo de la propia variedad riemanniana. Siguiendo las ideas expuestas por Jeff Cheeger en 1970, se pueden considerar secuencias de variedades riemannianas controladas geométricamente de forma uniforme y, utilizando las coordenadas, se puede construir una variedad riemanniana "límite". ^{[ 24 ]} Debido a la naturaleza de dicha "convergencia riemanniana", se deduce, por ejemplo, que, salvo difeomorfismo, solo existen un número finito de variedades diferenciables de una dimensión dada que admiten métricas riemannianas con una cota fija para la curvatura de Ricci y el diámetro, y una cota inferior positiva fija para el radio de inyectividad. ^{[ 25 ]}

Estas estimaciones del radio armónico también se utilizan para construir funciones de corte controladas geométricamente y, por lo tanto, particiones de la unidad . Por ejemplo, para controlar la segunda derivada covariante de una función mediante una segunda derivada parcial definida localmente , es necesario controlar la primera derivada de la representación local de la métrica. Estas construcciones son fundamentales para estudiar los aspectos básicos de los espacios de Sobolev en variedades riemannianas no compactas. ^{[ 26 ]}