El problema de Hansen

En trigonometría , el problema de Hansen es un problema de topografía plana , que recibe su nombre del astrónomo Peter Andreas Hansen (1795-1874 ) , quien trabajó en el levantamiento geodésico de Dinamarca . Se conocen dos puntos A y B , y se desconocen dos puntos P₁ y P₂ . Desde _{P₁ y P₂} , un observador mide los ángulos que forman _{las líneas de visión hacia cada uno de los otros tres puntos .} El problema consiste en hallar las posiciones de _P₁ y P₂ _{. Véase la} figura; los ángulos medidos son ( α₁ , _β₁ , α₂ , β₂ ) . 

Dado que implica observaciones de ángulos realizadas en puntos desconocidos, el problema es un ejemplo de resección (en contraposición a la intersección).

Defina los siguientes ángulos: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\gamma &=\angle P_{1}AP_{2},&\quad \delta &=\angle P_{1}BP_{2},\\[4pt]\phi &=\angle P_{2}AB,&\quad \psi &=\angle P_{1}BA.\end{alignedat}}}$$ Como primer paso, resolveremos para φ y ψ . La suma de estos dos ángulos desconocidos es igual a la suma de β ₁ y β ₂ , lo que da como resultado la ecuación.

$${\displaystyle \phi +\psi =\beta _ {1}+\beta _ {2}.}$$

Una segunda ecuación se puede encontrar de forma más laboriosa, como sigue. La ley de los senos produce:

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{2}B}}}={\frac {\sin \alpha _{2}}{\sin \phi }},\qquad {\frac {\overline {P_{2}B}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \beta _{1}}{\sin \delta }}.}$$

Combinando estos, obtenemos

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \phi \sin \delta }}.}$$

Un razonamiento completamente análogo por otro lado produce

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}={\frac {\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}{\sin \psi \sin \gamma }}.}$$

Igualar estos dos da como resultado

$${\displaystyle {\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _ {2}\sin \beta _ {1}}{\sin \delta \sin \alpha _ {1}\sin \beta _ {2}}}=k.}$$

Utilizando una identidad trigonométrica conocida , esta razón de senos se puede expresar como la tangente de una diferencia de ángulos:

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\phi -\psi )={\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi ).}$

Dónde${\displaystyle k={\frac {\sin \phi }{\sin \psi }}.}$

Esta es la segunda ecuación que necesitamos. Una vez que resolvemos las dos ecuaciones para las dos incógnitas φ , ψ , podemos usar cualquiera de las dos expresiones anteriores para${\displaystyle {\tfrac {\overline {AB}}{\overline {P_{1}P_{2}}}}}$para encontrar${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$Dado que AB es conocido, podemos hallar todos los demás segmentos utilizando la ley de los senos. ^{[ 1 ]}

Se nos dan cuatro ángulos ( α₁ _, β₁ , _α₂ , _β₂ )    y la distancia AB _. El cálculo se realiza de la siguiente manera :

• Calcular$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\pi -\alpha _{1}-\beta _{1}-\beta _{2},\\\delta &=\pi -\alpha _{2}-\beta _{1}-\beta _{2}.\end{aligned}}}$$
• Calcular$${\displaystyle k={\frac {\sin \gamma \sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}{\sin \delta \sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$
• Dejar$${\displaystyle s=\beta _{1}+\beta _{2},\quad d=2\arctan \left({\frac {k-1}{k+1}}\tan {\tfrac {1}{2}}s\right)}$$y luego$${\displaystyle \phi ={\frac {s+d}{2}},\quad \psi ={\frac {sd}{2}}.}$$

Calcular$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \phi \sin \delta }{\sin \alpha _{2}\sin \beta _{1}}}}$$o equivalentemente$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}={\overline {AB}}\ {\frac {\sin \psi \sin \gamma }{\sin \alpha _{1}\sin \beta _{2}}}.}$$Si el denominador de una de estas fracciones es cercano a cero, utilice la otra.

• Resolver triángulos
• El problema de Snell