Conjetura de Hanna Neumann

En el ámbito matemático de la teoría de grupos , la conjetura de Hanna Neumann es una afirmación sobre el rango de la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre . La conjetura fue planteada por Hanna Neumann en 1957. ^{[ 1 ]} En 2011, una versión reforzada de la conjetura (véase más adelante ) fue demostrada independientemente por Joel Friedman ^{[ 2 ]} e Igor Mineyev. ^{[ 3 ]}

En 2017, Andrei Jaikin-Zapirain publicó una tercera prueba de la conjetura de Hanna Neumann reforzada, basada en argumentos homológicos inspirados en consideraciones de pro-p-grupos . ^{[ 4 ]}

El tema de la conjetura fue motivado originalmente por un teorema de Howson de 1954 ^{[ 5 ]} , quien demostró que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre siempre es finitamente generada, es decir, tiene rango finito . En este artículo, Howson demostró que si H y K son subgrupos de un grupo libre F ( X ) de rangos finitos n ≥ 1 y m ≥ 1, entonces el rango s de H ∩ K satisface:      

s − 1 ≤ 2 mn − m − n .      

En un artículo de 1956 ^{[ 6 ]} Hanna Neumann mejoró esta cota demostrando que:

s − 1 ≤ 2 mn − 2m − n .      

En un apéndice de 1957, ^{[ 1 ]} Hanna Neumann mejoró aún más esta cota para demostrar que bajo los supuestos anteriores

s − 1 ≤ 2( m − 1)( n − 1).

También conjeturó que el factor de 2 en la desigualdad anterior no es necesario y que uno siempre tiene

s − 1 ≤ ( m − 1)( n − 1).      

Esta afirmación se conoció como la conjetura de Hanna Neumann .

Sean H , K ≤ F ( X ) dos subgrupos finitamente generados no triviales de un grupo libre F ( X ) y sea L  = H ∩ K la intersección de H y K. La conjetura dice que en este caso   

rango( L ) − 1 ≤ (rango( H ) − 1)(rango( K ) − 1).      

Aquí, para un grupo G, la cantidad rango( G ) es el rango de G , es decir, el tamaño más pequeño de un conjunto generador para G. Se sabe que cada subgrupo de un grupo libre es libre a su vez, y el rango de un grupo libre es igual al tamaño de cualquier base libre de ese grupo libre.

Si H , K ≤ G son dos subgrupos de un grupo G y si a , b ∈ G definen la misma clase lateral doble HaK  =  HbK, entonces los subgrupos H  ∩ aKa ^{− 1} y H ∩ bKb ^{− 1} son conjugados en G y, por lo tanto, tienen el mismo rango . Se sabe que si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos finitamente generados de un grupo libre finitamente generado F ( X ), entonces existen como máximo un número finito de clases de clases laterales dobles _{HaK en F(X) tales que H ∩ aKa − 1 ≠ {1}. Supongamos que existe al menos una de estas clases laterales dobles y sean a1} , ... , an todos los representantes distintos de ^{dichas clases} laterales dobles . La conjetura _reforzada de Hanna Neumann , formulada por su hijo Walter Neumann (1990), ^{[ 7 ]} afirma que en esta situación       

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

La conjetura reforzada de Hanna Neumann fue demostrada en 2011 por Joel Friedman. ^{[ 2 ]} Poco después, Igor Mineyev dio otra demostración. ^{[ 3 ]}

• En 1971, Burns mejoró ^{[ 8 ]} la cota de Hanna Neumann de 1957 y demostró que bajo los mismos supuestos que en el artículo de Hanna Neumann se tiene

s ≤ 2 mn − 3 m − 2 n + 4.      

• En un artículo de 1990, ^{[ 7 ]} Walter Neumann formuló la conjetura reforzada de Hanna Neumann (véase la declaración anterior).
• Tardos (1992) ^{[ 9 ]} estableció la conjetura de Hanna Neumann reforzada para el caso en que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango dos. Como la mayoría de los otros enfoques de la conjetura de Hanna Neumann, Tardos utilizó la técnica de los grafos de subgrupos de Stallings ^{[ 10 ]} para analizar subgrupos de grupos libres y sus intersecciones.
• Warren Dicks (1994) ^{[ 11 ]} estableció la equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y una afirmación de teoría de grafos que denominó conjetura de grafos amalgamada .
• Arzhantseva (2000) demostró ^{[ 12 ]} que si H es un subgrupo finitamente generado de índice infinito en F ( X ), entonces, en cierto sentido estadístico, para un subgrupo finitamente generado genérico${\displaystyle K}$en${\displaystyle F(X)}$, tenemos H  ∩ gKg ^{− 1} = {1} para todo g en F . Por lo tanto, la conjetura reforzada de Hanna Neumann se cumple para todo H y un K genérico .   
• En 2001, Dicks y Formanek establecieron la conjetura reforzada de Hanna Neumann para el caso en que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango como máximo tres. ^{[ 13 ]}
• Khan (2002) ^{[ 14 ]} e, independientemente, Meakin y Weil (2002), ^{[ 15 ]} demostraron que la conclusión de la conjetura reforzada de Hanna Neumann se cumple si uno de los subgrupos H , K de F ( X ) es generado positivamente , es decir, generado por un conjunto finito de palabras que involucran solo elementos de X pero no de X ^{− 1} como letras.
• Ivanov ^{[ 16 ] [ 17 ]} y Dicks e Ivanov ^{[ 18 ]} obtuvieron análogos y generalizaciones de los resultados de Hanna Neumann para la intersección de subgrupos H y K de un producto libre de varios grupos.
• Wise (2005) afirmó ^{[ 19 ]} que la conjetura reforzada de Hanna Neumann implica otra conjetura de larga data de la teoría de grupos que dice que todo grupo de un solo relator con torsión es coherente (es decir, todo subgrupo finitamente generado en tal grupo está finitamente presentado ).

• teoría geométrica de grupos