Hispanopedia WikiEn teoría de grupos , un grupo de Dedekind es un grupo G tal que cada subgrupo de G es normal . Todos los grupos abelianos son grupos de Dedekind. Un grupo de Dedekind no abeliano se denomina grupo hamiltoniano . [1]
El ejemplo más conocido (y más pequeño) de un grupo hamiltoniano es el grupo de cuaterniones de orden 8, denotado por Q 8 . Dedekind y Baer han demostrado (en el caso de orden finito e infinito respectivamente) que cada grupo hamiltoniano es un producto directo de la forma G = Q 8 × B × D , donde B es un 2-grupo abeliano elemental y D es un grupo abeliano de torsión con todos los elementos de orden impar.
Los grupos de Dedekind reciben su nombre de Richard Dedekind , quien los investigó en (Dedekind 1897), demostrando una forma del teorema de estructura anterior (para grupos finitos ). Denominó a los no abelianos en honor a William Rowan Hamilton , el descubridor de los cuaterniones .
En 1898, George Miller delineó la estructura de un grupo hamiltoniano en términos de su orden y el de sus subgrupos. Por ejemplo, muestra que "un grupo hamiltoniano de orden 2 a tiene 2 2 a − 6 grupos de cuaterniones como subgrupos". En 2005, Horvat et al [2] utilizaron esta estructura para contar el número de grupos hamiltonianos de cualquier orden n = 2 e o donde o es un entero impar. Cuando e < 3, entonces no hay grupos hamiltonianos de orden n , de lo contrario, hay el mismo número que grupos abelianos de orden o .
Notas
- ^ Hall (1999). La teoría de grupos. p. 190.
- ^ Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž (9 de marzo de 2005). "Sobre el número de grupos hamiltonianos". arXiv : matemáticas/0503183 .
Referencias
- Dedekind, Richard (1897), "Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind", Mathematische Annalen , 48 (4): 548–561, doi :10.1007/BF01447922, ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, CID 119992274.
- Baer, R. Situación der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akád. Wiss.2, 12-17, 1933.
- Hall, Marshall (1999), La teoría de grupos , AMS Bookstore, pág. 190, ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž (2005), "Sobre el número de grupos hamiltonianos", Mathematical Communications , 10 (1): 89–94, arXiv : math/0503183 , Bibcode : 2005math......3183H.
- Miller, GA (1898), "Sobre los grupos de Hamilton", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 4 (10): 510–515, doi : 10.1090/s0002-9904-1898-00532-3.
- Taussky, Olga (1970), "Sumas de cuadrados", American Mathematical Monthly , 77 (8): 805–830, doi :10.2307/2317016, hdl : 10338.dmlcz/120593 , JSTOR 2317016, MR 0268121.
