Regularización de Hadamard

En matemáticas, la regularización de Hadamard (también llamada parte finita de Hadamard o parte finita de Hadamard ) es un método para regularizar integrales divergentes eliminando algunos términos divergentes y conservando la parte finita, introducido por Jacques Hadamard ( 1923 , libro III, capítulo I, 1932 ) . Marcel Riesz ( 1938 , 1949 ) demostró que esto puede interpretarse como tomar la continuación meromorfa de una integral convergente.  

Si existe la integral del valor principal de Cauchy , entonces se puede diferenciar con respecto a x para obtener la integral de la parte finita de Hadamard de la siguiente manera: $${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{tx}}\,dt\quad ({\text{para }}a<x<b)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{tx}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt\quad ({\text{para }}a<x<b).}$$

Nótese que los símbolos y se utilizan aquí para denotar el valor principal de Cauchy y las integrales de parte finita de Hadamard, respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La integral de parte finita de Hadamard anterior (para a < x < b ) también puede expresarse mediante las siguientes definiciones equivalentes: $${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}}\right)\right\}.}$$

Las definiciones anteriores pueden derivarse asumiendo que la función f ( t ) es diferenciable infinitas veces en t = x para a < x < b , es decir, asumiendo que f ( t ) puede representarse mediante su serie de Taylor alrededor de t = x . Para más detalles, véase Ang ( 2013 ) . (Nótese que el término − ⁠ f ( x )/2( )​1/b − x⁠ − ⁠1/a − x⁠ )​​en la segunda definición equivalente anterior falta enAng(2013), pero esto se corrige en la hoja de erratas del libro.) 

Las ecuaciones integrales que contienen integrales de parte finita de Hadamard (con f ( t ) desconocida) se denominan ecuaciones integrales hipersingulares. Estas ecuaciones surgen en la formulación de numerosos problemas de mecánica, como el análisis de fracturas.

Consideremos la integral divergente. Su valor principal de Cauchy también diverge, ya que Para asignar un valor finito a esta integral divergente, podemos considerar El valor principal interno de Cauchy viene dado por Por lo tanto, Nótese que este valor no representa el área bajo la curva y ( t ) = 1/ t ² , que claramente siempre es positiva. Sin embargo, se puede ver de dónde proviene esto. Recordemos que el valor principal de Cauchy de esta integral, cuando se evalúa en los extremos, tomó la forma $${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\left(\lim _{a\to 0^{-}}\int _{-1}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)+\left(\lim _{b\to 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{a\to 0^{-}}\left(-{\frac {1}{a}}-1\right)+\lim _{b\to 0^{+}}\left(-1+{\frac {1}{b}}\right)=+\infty }$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t^{2}}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{(t-x)^{2}}}\,dt{\Bigg |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right){\Bigg |}_{x=0}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t-x}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\ln \left|{\frac {\varepsilon +x}{1+x}}\right|+\ln \left|{\frac {1-x}{\varepsilon -x}}\right|\right)=\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\left(\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|\right){\Bigg |}_{x=0}={\frac {2}{x^{2}-1}}{\Bigg |}_{x=0}=-2}$$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }$

Si se eliminan los componentes infinitos, el par de términos, lo que queda, la parte finita , es ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}}$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-1-1\right)=-2}$

lo cual es igual al valor derivado anteriormente.

• Ang, Whye-Teong (2013), Ecuaciones integrales hipersingulares en el análisis de fracturas , Oxford: Woodhead Publishing , pp. 19–24 , ISBN  978-0-85709-479-7.
• Ang, Whye-Teong, Hoja de erratas para ecuaciones integrales hipersingulares en análisis de fracturas (PDF).
• Blanchet, Lucas; Faye, Guillaume (2000), "regularización de Hadamard", Journal of Mathematical Physics , 41 (11): 7675– 7714, arXiv : gr-qc/0004008 , Bibcode : 2000JMP....41.7675B , doi : 10.1063/1.1308506 , ISSN 0022-2488 , señor 1788597 , Zbl 0986.46024   .
• Hadamard, Jacques (1923), Lecciones sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales , ediciones Dover Phoenix, Dover Publications, Nueva York, pág.  316, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04 , SEÑOR 0051411 , Zbl 0049.34805   {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help).
• Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (en francés), París: Hermann & Cie., p.  542, Zbl 0006.20501 .
• Riesz, Marcel (1938), "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels". , Acta lit. AC Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Ciencia. Matemáticas. (Szeged) (en francés), 9 (1): 1– 42, JFM 64.0476.03 , Zbl 0018.40704 , archivado desde el original el 5 de marzo de 2016 , consultado el 22 de junio de 2012.  .
• Riesz, Marcel (1938), "Rectificación au travail "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels"" , Acta Litt. AC Sient. Univ. Hung. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Math. (Szeged) (en francés), 9 (2): 116– 118, JFM 65.1272.03 , Zbl 0020.36402 , archivado del original el 04-03-2016 , recuperado el 22-06-2012  .
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1– 223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN 0001-5962 , MR 0030102 , Zbl 0033.27601