Lógica cautelosa

La lógica controlada es un conjunto de opciones de lógica dinámica involucradas en decisiones, donde los resultados son limitados.

Un ejemplo sencillo de lógica de protección es el siguiente: si X es verdadero, entonces Y, de lo contrario Z puede expresarse en lógica dinámica como (X?;Y)∪(~X?;Z). Esto muestra una elección lógica protegida: si X es verdadero, entonces X?;Y es igual a Y, y ~X?;Z está bloqueado, y Y∪bloqueado también es igual a Y. Por lo tanto, cuando X es verdadero, el ejecutor principal de la acción solo puede tomar la rama Y, y cuando es falso, la rama Z. ^{[ 1 ]}

Un ejemplo del mundo real es la idea de paradoja : algo no puede ser verdadero y falso a la vez. Una elección lógica cautelosa es aquella en la que cualquier cambio en lo verdadero afecta a todas las decisiones que se tomen posteriormente. ^{[ 2 ]}

Antes de la utilización de la lógica de protección, existían dos términos principales para interpretar la lógica modal: la lógica matemática y la teoría de bases de datos (Inteligencia Artificial), que se basaban en la lógica de predicados de primer orden. Ambos términos dieron lugar a subclases de la lógica de primera clase y se emplearon eficazmente en lenguajes resolubles útiles para la investigación. Sin embargo, ninguno de ellos podía explicar las potentes extensiones de punto fijo a las lógicas de estilo modal.

Más tarde, Moshe Y. Vardi ^{[ 3 ]} conjeturó que un modelo de árbol funcionaría para muchas lógicas de estilo modal. El fragmento protegido de la lógica de primer orden fue introducido por primera vez por Hajnal Andréka , István Németi y Johan van Benthem en su artículo «Lenguajes modales y fragmentos acotados de la lógica de predicados». Lograron transferir propiedades clave de la lógica descriptiva , modal y temporal a la lógica de predicados. Se descubrió que la robusta decidibilidad de la lógica protegida podía generalizarse con una propiedad del modelo de árbol. El modelo de árbol también puede ser un fuerte indicio de que la lógica protegida extiende el marco modal, que conserva los fundamentos de las lógicas modales.

Las lógicas modales se caracterizan generalmente por invariancias bajo bisimulación . Además, la invariancia bajo bisimulación es la raíz de la propiedad del modelo de árbol, lo que contribuye a definir la teoría de autómatas .

Dentro de la lógica protegida existen numerosos objetos protegidos. El primero es el fragmento protegido, que es la lógica de primer orden de la lógica modal. Los fragmentos protegidos generalizan la cuantificación modal al encontrar patrones relativos de cuantificación. La sintaxis utilizada para denotar el fragmento protegido es GF . Otro objeto es la lógica de punto fijo protegido, denotada μGF, que extiende naturalmente el fragmento protegido desde los puntos fijos de menor a mayor. Las bisimulaciones protegidas son objetos que al analizar la lógica protegida. Todas las relaciones en un álgebra relacional estándar ligeramente modificada con bisimulación protegida y definible de primer orden se conocen como álgebra relacional protegida . Esto se denota usando GRA .

Junto con los objetos de lógica protegida de primer orden, existen objetos de lógica protegida de segundo orden. Se conoce como lógica protegida de segundo orden y se denota como GSO . De forma similar a la lógica de segundo orden , la lógica protegida de segundo orden cuantifica cuyo rango sobre relaciones protegidas la restringe semánticamente. Esto difiere de la lógica de segundo orden, en la que el rango se restringe sobre relaciones arbitrarias. ^{[ 4 ]}

Sea B una estructura relacional con universo B y vocabulario τ.

i) Un conjunto X ⊆ B está protegido en B si existe un átomo fundamental α(b_1, ..., b_k) en B tal que X = {b_1, ..., b_k}.

ii) Una τ-estructura A , en particular una subestructura A ⊆ B, está protegida si su universo es un conjunto protegido en A (en B ).

iii) Una tupla (b_1, ..., b_n) ∈ B^n está protegida en B si {b_1, ..., b_n} ⊆ X para algún conjunto protegido X ⊆ B.

iv) Una tupla (b_1, ..., b_k) ∈ B^k es una lista protegida en B si sus componentes son distintos entre sí y {b_1, ..., b_k} es un conjunto protegido. La lista vacía se considera una lista protegida.

v) Una relación X ⊆ B^n es protegida si solo consta de tuplas protegidas. ^{[ 5 ]}