Dispersión de la velocidad de grupo

Una ilustración sencilla de cómo se puede utilizar GVD para determinar el chirp de pulso se puede ver observando el efecto de un pulso limitado por transformada de duración${\displaystyle \sigma }$pasando a través de un medio plano de espesor d . Antes de pasar a través del medio, los desfases de todas las frecuencias están alineados en el tiempo, y el pulso puede describirse como una función del tiempo.

${\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}$

o equivalentemente, en función de la frecuencia,

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}$

(Los parámetros A y B son constantes de normalización). El paso a través del medio da como resultado una acumulación de fase dependiente de la frecuencia.${\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}$, de tal manera que el pulso posterior al medio se puede describir mediante

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.}$

En general, el índice de refracción${\displaystyle n(\omega )}$y, por lo tanto, el vector de onda${\displaystyle k(\omega )=n(\omega )\omega /c}$, puede ser una función arbitraria de${\displaystyle \omega }$, lo que dificulta realizar analíticamente la transformada inversa de Fourier de vuelta al dominio del tiempo . Sin embargo, si el ancho de banda del pulso es estrecho en relación con la curvatura de${\displaystyle n}$, entonces se pueden obtener buenas aproximaciones del impacto del índice de refracción reemplazando${\displaystyle k(\omega )}$con su expansión de Taylor centrada en${\displaystyle \omega _{0}}$:

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots }$

Truncar esta expresión e insertarla en la expresión del dominio de frecuencia posterior al medio da como resultado una expresión del dominio del tiempo posterior al medio.

${\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(tk'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.}$

En general, el pulso se alarga hasta un valor de desviación estándar de intensidad de

${\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}$

validando así la expresión inicial. Nótese que un pulso limitado por transformada tiene${\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}$, lo que hace apropiado identificar 1/(2 σ _t ) como el ancho de banda.

Una derivación alternativa de la relación entre la modulación de frecuencia del pulso y la dispersión de velocidad de grupo (GVD), que ilustra de forma más inmediata la razón por la cual la GVD puede definirse mediante la derivada de la inversa de la velocidad de grupo, puede esbozarse de la siguiente manera. Consideremos dos pulsos limitados por la transformada de Fourier con frecuencias portadoras.${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$, que inicialmente se superponen en el tiempo. Después de pasar a través del medio, estos dos pulsos exhibirán un retardo de tiempo entre los centros de sus respectivas envolventes de pulso, dado por

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}$

La expresión puede aproximarse como una expansión de Taylor , dando como resultado

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

o

${\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}$

Desde aquí es posible imaginar escalar esta expresión de dos pulsos a infinitos. La diferencia de frecuencia${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$debe ser reemplazado por el ancho de banda y el retardo de tiempo${\displaystyle \Delta T}$evoluciona en el chirrido inducido.