Estado fundamental

Consideremos la energía promedio de un estado con un nodo en x = 0 ; es decir, ψ (0) = 0. La energía promedio en este estado sería

$${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}$$

donde V ( x ) es el potencial.

Con integración por partes :

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

Por lo tanto, en caso de que${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$es igual a cero , se obtiene: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

Ahora, consideremos un pequeño intervalo alrededor de${\displaystyle x=0}$; es decir,${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$. Tomemos una nueva función de onda ( deformada ) ψ ' ( x ) que se definirá como${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$, para${\displaystyle x<-\varepsilon }$; y${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$, para${\displaystyle x>\varepsilon }$; y constante para${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$. Si${\displaystyle \varepsilon }$es suficientemente pequeño, esto siempre es posible de hacer, de modo que ψ ' ( x ) sea continuo.

Arrogante${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$alrededor${\displaystyle x=0}$, uno puede escribir $${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}}$es la norma.

Tenga en cuenta que las densidades de energía cinética se mantienen${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$en todas partes debido a la normalización. Más significativamente, la energía cinética promedio se reduce por${\displaystyle O(\varepsilon )}$por la deformación a ψ ' .

Ahora, consideremos la energía potencial . Para mayor claridad, elijamos${\displaystyle V(x)\geq 0}$. Entonces queda claro que, fuera del intervalo${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$, la densidad de energía potencial es menor para ψ ' porque${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$allá.

Por otro lado, en el intervalo${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$tenemos $${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ que se mantiene en orden${\displaystyle \varepsilon ^{3}}$.

Sin embargo, la contribución a la energía potencial de esta región para el estado ψ con un nodo es $${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ inferior, pero aún del mismo orden inferior${\displaystyle O(\varepsilon ^{3})}$en cuanto al estado deformado ψ ' , y subdominante a la disminución de la energía cinética promedio. Por lo tanto, la energía potencial permanece sin cambios hasta cierto orden.${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$, si deformamos el estado${\displaystyle \psi }$con un nodo en un estado ψ ' sin un nodo, y el cambio puede ignorarse.

Por lo tanto, podemos eliminar todos los nodos y reducir la energía mediante${\displaystyle O(\varepsilon )}$, lo que implica que${\displaystyle \psi }$no puede ser el estado fundamental. Por lo tanto, la función de onda del estado fundamental no puede tener un nodo. Esto completa la demostración. (La energía promedio puede reducirse aún más eliminando las ondulaciones, hasta el mínimo absoluto variacional).

Como el estado fundamental no tiene nodos, es espacialmente no degenerado, es decir, no hay dos estados cuánticos estacionarios con el valor propio de energía del estado fundamental (llamémoslo${\displaystyle E_{g}}$) y el mismo estado de espín y, por lo tanto, solo diferirían en sus funciones de onda en el espacio de posiciones . ^{[ 1 ]}

El razonamiento se basa en una contradicción : si el estado fundamental fuera degenerado, entonces habría dos estados estacionarios ortonormales ^{[ 2 ].}${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$y${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$— representados posteriormente por sus funciones de onda de espacio de posición de valor complejo${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$y${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$— y cualquier superposición${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle$ :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle } con los números complejos${\displaystyle c_{1},c_{2}}$cumpliendo la condición${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$también sería un estado de ese tipo, es decir tendría el mismo valor propio de energía.${\displaystyle E_{g}}$y el mismo estado de espín.

Ahora dejemos${\displaystyle x_{0}}$Sea un punto aleatorio (donde ambas funciones de onda estén definidas) y establezca: $${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}}$$ y $${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}}$$ con $${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0}$$ (según la premisa de que no hay nodos ).

Por lo tanto, la función de onda del espacio de posiciones de${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$es $${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.}$$

Por eso $${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0}$$ a pesar de${\displaystyle t}$.

Pero${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$es decir,${\displaystyle x_{0}}$es un nodo de la función de onda del estado fundamental y eso contradice la premisa de que esta función de onda no puede tener un nodo.

Tenga en cuenta que el estado fundamental podría ser degenerado debido a diferentes estados de espín como${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$y${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$mientras que tienen la misma función de onda en el espacio de posiciones: cualquier superposición de estos estados crearía un estado de espín mixto pero dejaría la parte espacial (como factor común de ambos) inalterada.