Desigualdad de Griffiths

En mecánica estadística , la desigualdad de Griffiths , también conocida como desigualdad de Griffiths - Kelly - Sherman o desigualdad GKS , en honor a Robert B. Griffiths , es una desigualdad de correlación para sistemas de espín ferromagnéticos . De manera informal, establece que en sistemas de espín ferromagnéticos, si la distribución a priori del espín permanece invariante bajo inversión de espín, la correlación de cualquier monomio de los espines es no negativa; y la correlación de dos puntos de dos monomios de los espines también es no negativa.

La desigualdad fue demostrada por Griffiths para ferromagnetos de Ising con interacciones de dos cuerpos, ^{[ 1 ]} luego generalizada por Kelly y Sherman a interacciones que involucran un número arbitrario de espines, ^{[ 2 ]} y luego por Griffiths a sistemas con espines arbitrarios. ^{[ 3 ]} Una formulación más general fue dada por Ginibre , ^{[ 4 ]} y ahora se llama la desigualdad de Ginibre .

Dejar${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ser una configuración de espines (continuos o discretos) en una red${\displaystyle \Lambda }$. Si ${\displaystyle A\subset \Lambda }$es una lista de sitios de la red, posiblemente con duplicados, let${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$ ser el producto de los giros en${\displaystyle A}$.

Asignar una medida a priori${\displaystyle d\mu (\sigma )}$en los giros; dejar${\displaystyle H}$ser un funcional de energía de la forma

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

donde la suma se realiza sobre listas de sitios${\displaystyle A}$y dejar

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

sea ​​la función de partición . Como de costumbre,

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{Z}}\int d\mu (\sigma )f(\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

representa el promedio del conjunto .

El sistema se denomina ferromagnético si, para cualquier lista de sitios${\displaystyle A}$,${\displaystyle J_{A}\geq 0}$. El sistema se denomina invariante bajo inversión de espín si, para cualquier${\displaystyle j}$en${\displaystyle \Lambda }$la medida${\displaystyle \mu }$se conserva bajo el mapa de volteo de señales${\displaystyle \sigma \to \tau }$, dónde

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

Obsérvese que la función de partición es no negativa por definición.

Demostración de la primera desigualdad : Expandir

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

donde n _A (j) representa el número de veces que j aparece en A. Ahora, por invariancia bajo inversión de espín,

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

si al menos un n(j) es impar, y la misma expresión es obviamente no negativa para valores pares de n . Por lo tanto,${\displaystyle Z\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$, por lo tanto también${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$.

Demostración de la segunda desigualdad . Para la segunda desigualdad de Griffiths, duplique la variable aleatoria, es decir, considere una segunda copia del espín, ${\displaystyle \sigma '}$, con la misma distribución de ${\displaystyle \sigma }$. Entonces

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

Introducir las nuevas variables

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

El sistema duplicado${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$es ferromagnético en${\displaystyle \tau ,\tau '}$porque${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$es un polinomio en${\displaystyle \tau ,\tau '}$con coeficientes positivos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

Además de la medida sobre${\displaystyle \tau ,\tau '}$es invariante bajo inversión de espín porque${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$es. Finalmente los monomios${\displaystyle \sigma _{A}}$,${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$son polinomios en${\displaystyle \tau ,\tau '}$con coeficientes positivos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

La primera desigualdad de Griffiths se aplicó a${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$da el resultado.

Encontrará más detalles en ^{[ 5 ]} y ^{[ 6 ] .}

La desigualdad de Ginibre es una extensión, hallada por Jean Ginibre, ^{[ 4 ]} de la desigualdad de Griffiths.

• Existe un límite termodinámico para las correlaciones del modelo de Ising ferromagnético (con campo externo no negativo h y condiciones de contorno libres).

Esto se debe a que aumentar el volumen es lo mismo que activar nuevos acoplamientos J _B para un subconjunto B determinado . Por la segunda desigualdad de Griffiths

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

Por eso ${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$es monótonamente creciente con el volumen; entonces converge ya que está acotada por 1.

• El modelo de Ising ferromagnético unidimensional con interacciones${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$muestra una transición de fase si${\displaystyle 1<\alpha <2}$.

Esta propiedad puede demostrarse en una aproximación jerárquica, que difiere del modelo completo por la ausencia de algunas interacciones: argumentando como antes con la segunda desigualdad de Griffiths, los resultados se extienden al modelo completo. ^{[ 7 ]}

• La desigualdad de Ginibre proporciona la existencia del límite termodinámico para la energía libre y las correlaciones de espín para el modelo clásico XY bidimensional . ^{[ 4 ]} Además, a través de la desigualdad de Ginibre, Kunz y Pfister demostraron la presencia de una transición de fase para el modelo XY ferromagnético con interacción${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$si${\displaystyle 2<\alpha <4}$.
• Aizenman y Simon ^{[ 8 ]} utilizaron la desigualdad de Ginibre para demostrar que la correlación de espín de dos puntos del modelo clásico XY ferromagnético en dimensión${\displaystyle D}$, acoplamiento${\displaystyle J>0}$y temperatura inversa${\displaystyle \beta }$está dominado por (es decir, tiene un límite superior dado por) la correlación de dos puntos del modelo de Ising ferromagnético en dimensión${\displaystyle D}$, acoplamiento${\displaystyle J>0}$y temperatura inversa${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

De ahí la crítica${\displaystyle \beta }$del modelo XY no puede ser menor que el doble del valor crítico${\displaystyle \beta }$del modelo de Ising

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

en dimensión D = 2 y acoplamiento J = 1, esto da como resultado

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• Existe una versión de la desigualdad de Ginibre para el gas de Coulomb que implica la existencia de un límite termodinámico de correlaciones. ^{[ 9 ]}
• Otras aplicaciones ( transiciones de fase en sistemas de espín, modelo XY, cadena cuántica XYZ) se revisan en ^{[ 10 ] .}