Gráfico de Grassmann

En teoría de grafos , los grafos de Grassmann son una clase especial de grafos simples definidos a partir de sistemas de subespacios . Los vértices del grafo de Grassmann J _q ( n , k ) son los subespacios de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito de orden q ; dos vértices son adyacentes cuando su intersección es de dimensión ( k – 1) .

Muchos de los parámetros de los gráficos de Grassmann son q -análogos de los parámetros de los gráficos de Johnson , y los gráficos de Grassmann tienen varias de las mismas propiedades gráficas que los gráficos de Johnson.

• J _q ( n , k ) es isomorfo a J _q ( n , n – k ) .
• Para todo 0 ≤ d ≤ diam( J _q ( n , k )) , la intersección de cualquier par de vértices a la distancia d es ( k – d ) -dimensional.
• El número de camarilla de J _q ( n , k ) se da mediante una expresión en términos de sus valores propios mínimo y máximo λ _min y λ _max :

${\displaystyle \omega \left(J_{q}(n,k)\right)=1-{\frac {\lambda _{\max }}{\lambda _{\min }}}}$^{[ cita requerida ]}

Existe un subgrupo transitivo de distancia que es isomorfo al grupo lineal proyectivo . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \operatorname {Aut} (J_{q}(n,k))}$ ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (n,q)}$

De hecho, a menos que o ,; de lo contrario o respectivamente. ^[1]${\estilo de visualización n=2k}$${\displaystyle k\en \{1,n-1\}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (J_{q}(n,k))\cong \operatorname {P\Gamma L} (n,q)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (J_{q}(n,k))\cong \operatorname {P\Gamma L} (n,q)\times C_{2}}$${\displaystyle \nombreoperador {Aut} (J_{q}(n,k))\cong \nombreoperador {Sym} ([n]_{q})}$

Como consecuencia de ser transitivo en cuanto a la distancia, también es regular en cuanto a la distancia . Si denotamos su diámetro , la matriz de intersección de está dada por donde: ${\displaystyle J_{q}(n,k)}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle J_{q}(n,k)}$${\displaystyle \left\{b_{0},\ldots ,b_{d-1};c_{1},\ldots c_{d}\right\}}$

• ${\displaystyle b_{j}:=q^{2j+1}[kj]_{q}[nkj]_{q}}$Para todos .${\displaystyle 0\leq j<d}$
• ${\displaystyle c_{j}:=([j]_{q})^{2}}$Para todos .${\displaystyle 0<j\leq d}$

• El polinomio característico de está dado por${\displaystyle J_{q}(n,k)}$

${\displaystyle \varphi (x):=\prod \limits _{j=0}^{\operatorname {diam} (J_{q}(n,k))}\left(x-\left(q^{j+1}[kj]_{q}[nkj]_{q}-[j]_{q}\right)\right)^{\left({\binom {n}{j}}_{q}-{\binom {n}{j-1}}_{q}\right)}}$. ^[1]

• Grassmaniano
• Gráfico de Johnson