Incrustación de Plücker

En matemáticas , el mapa de Plücker incluye la grassmanniana.${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$, cuyos elementos son subespacios k - dimensionales de un espacio vectorial n -dimensional V , ya sea real o complejo, en un espacio proyectivo , realizándolo así como una variedad algebraica proyectiva . Más precisamente, el mapa de Plücker incrusta${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$en la proyectividad${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$del${\displaystyle k}$-el poder exterior de${\displaystyle V}$La imagen es algebraica y consiste en la intersección de varias cuádricas definidas por las relaciones de Plücker (  véase más abajo).

La incrustación de Plücker fue definida por primera vez por Julius Plücker en el caso ${\displaystyle k=2,n=4}$como una forma de describir las líneas en el espacio tridimensional (que, como líneas proyectivas en el espacio proyectivo real , corresponden a subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones). La imagen de esa incrustación es la cuádrica de Klein en RP ⁵ .

Hermann Grassmann generalizó la incrustación de Plücker a k y n arbitrarios . Las coordenadas homogéneas de la imagen del grassmanniano${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$bajo la incrustación de Plücker, en relación con la base en el espacio exterior${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$correspondiente a la base natural en${\displaystyle V=K^{n}}$(dónde${\displaystyle K}$es el campo base ) se denominan coordenadas de Plücker .

Denotando por${\displaystyle V=K^{n}}$ el${\displaystyle n}$espacio vectorial de dimensión sobre el campo${\displaystyle K}$y por ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$el grassmanniano de${\displaystyle k}$subespacios -dimensionales de${\displaystyle V}$, la incrustación de Plücker es el mapa ι definido por

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\iota$ :\ &\mathrm {Gr} (k,V)&\longrightarrow &\mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V),\\&{W}:=\operatorname {Span} (w_{1},\ldots ,w_{k})&\longmapsto &[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],\end{array}}}

dónde${\displaystyle (w_{1},\dots,w_{k})}$es una base para el elemento ${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$y${\displaystyle [w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]}$es la clase de equivalencia proyectiva del elemento${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$del${\displaystyle k}$el poder exterior de${\displaystyle V}$.

Esto es una incrustación de la grassmanniana en la proyectividad.${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$La imagen puede caracterizarse completamente como la intersección de varias cuádricas, las cuádricas de Plücker (véase más abajo), que se expresan mediante relaciones cuadráticas homogéneas en las coordenadas de Plücker (véase más abajo) que se derivan del álgebra lineal .

El anillo de corchetes aparece como el anillo de funciones polinómicas en${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$. ^{[ 1 ]}

La imagen bajo la incrustación de Plücker satisface un conjunto simple de relaciones cuadráticas homogéneas, generalmente llamadas relaciones de Plücker o relaciones de Grassmann-Plücker , que definen la intersección de varias cuádricas en${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$Esto demuestra que las incrustaciones grassmannianas son una subvariedad algebraica de${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$y proporciona otro método para construir la grassmanniana. Para enunciar las relaciones de Grassmann-Plücker, sea${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$ser el${\displaystyle k}$Subespacio de dimensión generado por la base representada por vectores columna${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$. Dejar${\displaystyle [W]}$ser el ${\displaystyle n\times k}$matriz cuyas columnas son ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k}}$; la matriz de${\displaystyle W}$con respecto a una base diferente es entonces${\displaystyle [W]A}$para cualquier invertible${\displaystyle k\times k}$matriz${\displaystyle A}$Para cualquier secuencia ordenada${\displaystyle 1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}$ de${\displaystyle k}$enteros, sea${\displaystyle \Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$ser el determinante de la${\displaystyle k\times k}$submatriz de${\displaystyle [W]}$en las filas${\displaystyle (i_{1},\dots i_{k})}$; este determinante se llama menor . Entonces${\displaystyle \{\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k}}\}}$son las coordenadas de Plücker del elemento${\displaystyle {W}\in \mathrm {Gr} (k,V)}$, las coordenadas lineales de la imagen${\displaystyle \iota ({W})\in \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$en relación con la base estándar${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\}}$de${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$. Cambiar la base de${\displaystyle W}$simplemente cambia las coordenadas de Plücker por un factor distinto de cero.${\displaystyle \det(A)}$, el determinante de la matriz de cambio de base, dando el mismo punto en${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$.

Para cualesquiera dos secuencias ordenadas:

${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k-1},\quad j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k+1}}$

de enteros positivos${\displaystyle 1\leq i_{l},j_{m}\leq n}$, las siguientes ecuaciones homogéneas son válidas y determinan la imagen de ${\displaystyle W}$bajo el mapa de Plücker: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{l}\Delta _{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}\Delta _{j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}=0,}$

dónde${\displaystyle j_{1},\dots ,{\hat {j}}_{l},\dots j_{k+1}}$denota que el término${\displaystyle j_{l}}$se omite. Estas son las relaciones de Plücker .

Cuando dim( V ) = 4 y k = 2 , obtenemos${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$, la grassmanniana más simple que no es un espacio proyectivo, y lo anterior se reduce a una sola ecuación. Denotando las coordenadas de${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{2}V}$por

${\displaystyle \Delta _{ij}=-\Delta _{ji},\quad 1\leq i,j\leq 4,}$

la imagen de${\displaystyle \mathrm {Gr} (2,V)}$bajo el mapa de Plücker se define por la ecuación única

${\displaystyle \Delta _{12}\Delta _{34}-\Delta _{13}\Delta _{24}+\Delta _{14}\Delta _{23}=0.}$

En general, se necesitan muchas más ecuaciones para definir la imagen de la incrustación de Plücker, como en ( 1 ), pero estas no son, en general, algebraicamente independientes . El número máximo de relaciones algebraicamente independientes (en conjuntos abiertos de Zariski) viene dado por la diferencia de dimensión entre${\displaystyle \mathbb {P} ({\textstyle \bigwedge }^{k}V)}$y${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,V)}$, que es${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}-k(n-k)-1.}$

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol.  227. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .