Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

método de discretización de gradiente

Solución exacta tú ¯ ( incógnita ) = 3 4 ( 0,5 4 / 3 − | incógnita − 0,5 | 4 / 3 ) {\displaystyle {\overline {u}}(x)={\frac {3}{4}}\left({0.5}^{4/3}-|x-0.5|^{4/3}\right)} del pr...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Solución exacta tú¯(incógnita)=34(0,54/3−|incógnita−0,5|4/3){\displaystyle {\overline {u}}(x)={\frac {3}{4}}\left({0.5}^{4/3}-|x-0.5|^{4/3}\right)} del problema de p -Laplace−(|tú¯′|2tú¯′)′(incógnita)=1{\displaystyle -(|{\overline {u}}'|^{2}{\overline {u}}')'(x)=1}en el dominio [0,1] contú¯(0)=tú¯(1)=0{\displaystyle {\overline {u}}(0)={\overline {u}}(1)=0} (línea negra) y una aproximada (línea azul) calculada con el método de Galerkin discontinuo de primer grado incorporado al GDM (malla uniforme con 6 elementos).

En matemáticas numéricas , el método de discretización de gradiente ( GDM ) es un marco que engloba esquemas numéricos clásicos y recientes para problemas de difusión de diversa índole: lineales o no lineales, en estado estacionario o dependientes del tiempo. Estos esquemas pueden ser conformes o no conformes, y pueden basarse en mallas poligonales o poliédricas muy generales (o incluso ser sin malla).

Se requieren algunas propiedades básicas para demostrar la convergencia de un GDM. Estas propiedades básicas permiten demostraciones completas de la convergencia del GDM para problemas elípticos y parabólicos, lineales o no lineales. Para problemas lineales, estacionarios o transitorios, las estimaciones de error se pueden establecer en función de tres indicadores específicos del GDM [ 1 ] (las cantidadesdoD{\displaystyle C_{D}},SD{\displaystyle S_{D}}yWD{\displaystyle W_{D}}( véase más abajo ). Para problemas no lineales, las demostraciones se basan en técnicas de compacidad y no requieren ninguna suposición de regularidad fuerte no física sobre la solución o los datos del modelo. [ 2 ] Los modelos no lineales para los que se ha llevado a cabo dicha demostración de convergencia del GDM comprenden: el problema de Stefan que modela un material fundido, flujos bifásicos en medios porosos, la ecuación de Richards del flujo de agua subterránea, las ecuaciones de Leray-Lions totalmente no lineales. [ 3 ]

Cualquier esquema que se integre en el marco del método de diferencias finitas generalizadas (GDM) converge en todos estos problemas. Esto se aplica en particular a los elementos finitos conformes , los elementos finitos mixtos , los elementos finitos no conformes y, en el caso de esquemas más recientes, al método de Galerkin discontinuo , al método mimético mixto híbrido, al método de diferencias finitas miméticas nodales , a algunos esquemas de volumen finito de dualidad discreta y a algunos esquemas de aproximación de flujo multipunto.

El ejemplo de un problema de difusión lineal

Consideremos la ecuación de Poisson en un dominio abierto acotado.Ω⊂Rd{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}, con condición de contorno de Dirichlet homogénea

dóndeF∈L2(Ω){\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}. El sentido habitual de solución débil [ 4 ] para este modelo es:

En resumen, el GDM para dicho modelo consiste en seleccionar un espacio de dimensión finita y dos operadores de reconstrucción (uno para las funciones, otro para los gradientes) y sustituir estos elementos discretos en lugar de los elementos continuos en (2). Más precisamente, el GDM comienza definiendo una Discretización de Gradiente (GD), que es una tripletaD=(incógnitaD,0,ΠD,∇D){\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _ {D},\nabla _ {D})}, dónde:

  • el conjunto de incógnitas discretasincógnitaD,0{\displaystyle X_{D,0}}es un espacio vectorial real de dimensión finita,
  • la reconstrucción de la funciónΠD : incógnitaD,0→L2(Ω){\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}es una aplicación lineal que reconstruye, a partir de un elemento deincógnitaD,0{\displaystyle X_{D,0}}, una función sobreΩ{\displaystyle \Omega },
  • la reconstrucción del gradiente∇D : incógnitaD,0→L2(Ω)d{\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}}es una aplicación lineal que reconstruye, a partir de un elemento deincógnitaD,0{\displaystyle X_{D,0}}, un "gradiente" (función vectorial) sobreΩ{\displaystyle \Omega }. Esta reconstrucción de gradiente debe elegirse de tal manera que‖∇D⋅‖L2(Ω)d{\displaystyle \Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}es una norma enincógnitaD,0{\displaystyle X_{D,0}}.

El esquema de gradiente relacionado para la aproximación de (2) viene dado por: encontrartú∈incógnitaD,0{\displaystyle u\in X_{D,0}}de tal manera que

En este caso, el GDM es un método no conforme para la aproximación de (2), que incluye el método de elementos finitos no conforme. Nótese que lo contrario no es cierto, en el sentido de que el marco GDM incluye métodos tales que la función∇Dtú{\displaystyle \nabla _{D}u}no se puede calcular a partir de la funciónΠDtú{\displaystyle \Pi _{D}u}.

La siguiente estimación de error, inspirada en el segundo lema de G. Strang, [ 5 ] se cumple

y

definición:

que mide la coercitividad (constante discreta de Poincaré),

que mide el error de interpolación,

que mide el defecto de conformidad.

Cabe señalar que se pueden derivar los siguientes límites superior e inferior del error de aproximación:

Entonces, las propiedades centrales que son necesarias y suficientes para la convergencia del método son, para una familia de GD, la coercitividad, la consistencia GD y las propiedades de conformidad límite, como se definen en la siguiente sección. De manera más general, estas tres propiedades centrales son suficientes para probar la convergencia del GDM para problemas lineales y para algunos problemas no lineales como elpag{\displaystyle p}-Problema de Laplace. Para problemas no lineales como la difusión no lineal, problemas parabólicos degenerados..., agregamos en la siguiente sección otras dos propiedades fundamentales que pueden ser necesarias.

Las propiedades fundamentales que permiten la convergencia de un GDM

Dejar(Dmetro)metro∈norte{\displaystyle (D_{m})_{m\in \mathbb {N} }}ser una familia de GD, definida como se indicó anteriormente (generalmente asociada con una secuencia de mallas regulares cuyo tamaño tiende a 0).

Coercitividad

La secuencia(doDmetro)metro∈norte{\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}(definido por ( 6 )) permanece acotado.

Consistencia GD

A pesar deφ∈H01(Ω){\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )},límitemetro→∞SDmetro(φ)=0{\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}(definido por ( 7 )).

Conformidad límite

A pesar deφ∈Hdiv(Ω){\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )},límitemetro→∞WDmetro(φ)=0{\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}(definido por ( 8 )). Esta propiedad implica la propiedad de coercividad.

Compacidad (necesaria para algunos problemas no lineales)

Para todas las secuencias(túmetro)metro∈norte{\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}de tal manera quetúmetro∈incógnitaDmetro,0{\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}a pesar de metro∈norte{\displaystyle m\in \mathbb {N} }y (‖túmetro‖Dmetro)metro∈norte{\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}está acotada, entonces la secuencia(ΠDmetrotúmetro)metro∈norte{\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}es relativamente compacto enL2(Ω){\displaystyle L^{2}(\Omega )}(esta propiedad implica la propiedad de coercitividad).

Reconstrucción constante por partes (necesaria para algunos problemas no lineales)

Dejar D=(incógnitaD,0,ΠD,∇D){\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}sea ​​una discretización de gradiente como se definió anteriormente. El operadorΠD{\displaystyle \Pi _{D}}es una reconstrucción constante por partes si existe una base(mii)i∈B{\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}deincógnitaD,0{\displaystyle X_{D,0}}y una familia de subconjuntos disjuntos (Ωi)i∈B{\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}deΩ{\displaystyle \Omega }de tal manera que ΠDtú=∑i∈BtúiχΩi{\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}a pesar detú=∑i∈Btúimii∈incógnitaD,0{\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}, dóndeχΩi{\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}es la función característica deΩi{\displaystyle \Omega _{i}}.

Algunos problemas no lineales con pruebas de convergencia completas del método GDM.

Analizamos algunos problemas para los que se puede demostrar que el método GDM converge cuando se cumplen las propiedades básicas mencionadas anteriormente.

Problemas de difusión estacionarios no lineales

−div⁡(Λ(tú¯)∇tú¯)=F{\displaystyle -\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}

En este caso, el GDM converge bajo las propiedades de coercitividad, consistencia GD, conformidad límite y compacidad.

Problema de p -Laplace para p > 1

−div⁡(|∇tú¯|pag−2∇tú¯)=F{\displaystyle -\operatorname {div} \left(|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}}\right)=f}

En este caso, se deben escribir las propiedades principales, reemplazandoL2(Ω){\displaystyle L^{2}(\Omega )} porLpag(Ω){\displaystyle L^{p}(\Omega )},H01(Ω){\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}porW01,pag(Ω){\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )} yHdiv(Ω){\displaystyle H_{\operatorname {div} }(\Omega )}porWdivpag′(Ω){\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}con1pag+1pag′=1{\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}y el GDM converge solo bajo las propiedades de coercitividad, consistencia GD y conformidad límite.

Ecuación del calor lineal y no lineal

∂ttú¯−div⁡(Λ(tú¯)∇tú¯)=F{\displaystyle \partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}

En este caso, el GDM converge bajo las propiedades de coercitividad, consistencia GD (adaptada a problemas espacio-temporales), conformidad límite y compacidad (para el caso no lineal).

Problemas parabólicos degenerados

Supongamos queβ{\displaystyle \beta }yζ{\displaystyle \zeta }son funciones continuas de Lipschitz no decrecientes:

∂tβ(tú¯)−Δζ(tú¯)=F{\displaystyle \partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f}

Cabe señalar que, para este problema, se necesita la propiedad de reconstrucción constante por partes, además de las propiedades de coercitividad, consistencia GD (adaptada a problemas espacio-temporales), conformidad límite y compacidad.

Revisión de algunos métodos numéricos que son GDM

Todos los métodos que se describen a continuación satisfacen las cuatro primeras propiedades básicas de GDM (coercitividad, consistencia GD, conformidad límite, compacidad) y, en algunos casos, la quinta (reconstrucción constante por partes).

Métodos de Galerkin y métodos de elementos finitos conformes

DejarVh⊂H01(Ω){\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )}estar abarcado por la base finita(ψi)i∈I{\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}El método Galerkin enVh{\displaystyle V_{h}}es idéntico al GDM donde se define

  • incógnitaD,0={tú=(túi)i∈I}=RI,{\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},}
  • ΠDtú=∑i∈Itúiψi{\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}
  • ∇Dtú=∑i∈Itúi∇ψi.{\displaystyle \nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}

En este caso,doD{\displaystyle C_{D}}es la constante involucrada en la desigualdad de Poincaré continua, y, para todoφ∈Hdiv(Ω){\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )},WD(φ)=0{\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}(definido por ( 8 )). Entonces ( 4 ) y ( 5 ) están implícitos por el lema de Céa .

La "masa agrupada"PAG1{\displaystyle P^{1}}El caso de elementos finitos entra en el marco del GDM, reemplazandoΠDtú{\displaystyle \Pi _{D}u}por Π~Dtú=∑i∈ItúiχΩi{\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}, dóndeΩi{\displaystyle \Omega _{i}}es una celda dual centrada en el vértice indexado por i∈I{\displaystyle i\in I}. El uso de la agrupación de masas permite obtener la propiedad de reconstrucción constante por partes.

Elemento finito no conforme

En una mallaT{\displaystyle T}que es un conjunto conforme de símplices deRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}, el no conformePAG1{\displaystyle P^{1}}Los elementos finitos se definen mediante la base. (ψi)i∈I{\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}de las funciones que son afines en cualquier K∈T{\displaystyle K\in T}y cuyo valor en el centro de gravedad de una cara dada de la malla es 1 y 0 en todas las demás (estos elementos finitos se utilizan en [Crouzeix et al ] [ 6 ] para la aproximación de las ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes ). Entonces el método entra en el marco GDM con la misma definición que en el caso del método de Galerkin, excepto por el hecho de que ∇ψi{\displaystyle \nabla \psi _{i}}debe entenderse como el "gradiente roto" deψi{\displaystyle \psi _{i}}, en el sentido de que es la función constante por partes igual en cada simplex al gradiente de la función afín en el simplex.

Elemento finito mixto

El método de elementos finitos mixtos consiste en definir dos espacios discretos, uno para la aproximación de∇tú¯{\displaystyle \nabla {\overline {u}}}y otro paratú¯{\displaystyle {\overline {u}}}. [ 7 ] Basta con utilizar las relaciones discretas entre estas aproximaciones para definir un GDM. El uso de las funciones base de Raviart-Thomas de bajo grado permite obtener la propiedad de reconstrucción constante por partes.

Método de Galerkin discontinuo

El método de Galerkin discontinuo consiste en aproximar problemas mediante una función polinómica por partes, sin requisitos sobre los saltos entre elementos. [ 8 ] Se integra en el marco del método de gradiente generalizado (GDM) mediante la inclusión en el gradiente discreto de un término de salto, que actúa como regularización del gradiente en el sentido de la distribución.

Método de diferencias finitas miméticas y método de diferencias finitas miméticas nodales

Esta familia de métodos fue introducida por [Brezzi et al. ] [ 9 ] y completada en [Lipnikov et al .] [ 10 ] . Permite la aproximación de problemas elípticos utilizando una amplia clase de mallas poliédricas. La demostración de que se integra en el marco de GDM se realiza en [Droniou et al .] [ 2 ] .

Véase también

Referencias

  1. ↑ R. Eymard, C. Guichard y R. Herbin . Esquemas 3D de plantilla pequeña para flujos difusivos en medios porosos. M2AN, 46:265–290, 2012.
  2. 1 2 J. Droniou, R. Eymard, T. Gallouët y R. Herbin . Esquemas de gradiente: un marco genérico para la discretización de ecuaciones elípticas y parabólicas lineales, no lineales y no locales. Math. Models Methods Appl. Sci. (M3AS), 23(13):2395–2432, 2013.
  3. ^ J. Leray y J. Leones. Quelques résultats de Višik sur les problemas elípticos no lineales según los métodos de Minty-Browder. Toro. Soc. Matemáticas. Francia, 93:97–107, 1965.
  4. ↑ H. Brezis . Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales. Universitext. Springer, Nueva York, 2011.
  5. ↑ G. Strang. Crímenes variacionales en el método de elementos finitos. En Fundamentos matemáticos del método de elementos finitos con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales (Actas del Simposio, Universidad de Maryland, Baltimore, Maryland, 1972) , páginas 689-710. Academic Press, Nueva York, 1972.
  6. ↑ M. Crouzeix y P.-A. Raviart. Métodos de elementos finitos conformes y no conformes para resolver las ecuaciones estacionarias de Stokes. I. Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle Sér. Rouge, 7(R-3):33–75, 1973.
  7. ↑ P.-A. Raviart y J.M. Thomas. Un método de elementos finitos mixtos para problemas elípticos de segundo orden. En Aspectos matemáticos de los métodos de elementos finitos (Actas de la Conferencia del Consejo Nacional de Investigación (CNR), Roma, 1975) , páginas 292-315. Lecture Notes in Math., vol. 606. Springer, Berlín, 1977.
  8. ↑ DA Di Pietro y A. Ern. Aspectos matemáticos de los métodos de Galerkin discontinuos, volumen 69 de Mathématiques & Applications (Berlín) [Mathematics & Applications]. Springer, Heidelberg, 2012.
  9. ↑ F. Brezzi, K. Lipnikov y M. Shashkov. Convergencia del método de diferencias finitas miméticas para problemas de difusión en mallas poliédricas. SIAM J. Numer. Anal., 43(5):1872–1896, 2005.
  10. ↑ K. Lipnikov, G. Manzini y M. Shashkov. Método de diferencias finitas miméticas. J. Comput. Phys., 257-Parte B:1163–1227, 2014.
  • El método de discretización del gradiente de Jérôme Droniou, Robert Eymard, Thierry Gallouët, Cindy Guichard y Raphaèle Herbin
Lecturas relacionadas
6 articulos
Análisis numéricoAnálisis numéricoEl análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan aproximación numérica (en oposición a manipulaciones simbólicas ) para los problemas ...iconoStefan problemIn mathematics and its applications, particularly to phase transitions in matter, a Stefan problem is a particular kind of boundary value problem f...ecuación de RichardsLa ecuación de Richards representa el movimiento del agua en suelos no saturados y se atribuye a Lorenzo A. Richards, quien la publicó en 1931. [ 1...ecuación de poissonecuación de poissonSimeón Denis Poisson La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial elíptica de amplia utilidad en física teórica . Por ejemplo, la sol...{\displaystyle y''+y=0,}Condición de contorno de DirichletEn matemáticas, la condición de contorno de Dirichlet se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , de modo que los valores que toma l...{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }Método GalerkinEn matemáticas , en el área de análisis numérico , los métodos de Galerkin son una familia de métodos para convertir un problema de operador contin...