Campo vectorial tipo gradiente

En topología diferencial , una disciplina matemática, y más específicamente en la teoría de Morse , un campo vectorial de tipo gradiente es una generalización del campo vectorial gradiente .

La motivación principal radica en su utilidad como herramienta técnica para la construcción de funciones de Morse , demostrando que es posible construir una función cuyos puntos críticos se encuentran en distintos niveles. Primero se construye una función de Morse y, a continuación, se utilizan campos vectoriales tipo gradiente para desplazarse alrededor de los puntos críticos, obteniendo así una función de Morse diferente.

Dada una función de Morse f en una variedad M, un campo vectorial tipo gradiente X para la función f es, informalmente:

• lejos de los puntos críticos, X apunta "en la misma dirección que" el gradiente de f, y
• cerca de un punto crítico (en la vecindad de un punto crítico), es igual al gradiente de f, cuando f se escribe en la forma estándar dada en los lemas de Morse .

Formalmente: ^{[ 1 ]}

• lejos de los puntos críticos,${\displaystyle X\cdot f>0,}$
• Alrededor de cada punto crítico hay un entorno en el que f viene dada como en los lemas de Morse:

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

y en la que X es igual al gradiente de f.

El sistema dinámico asociado de un campo vectorial de tipo gradiente, un sistema dinámico de tipo gradiente , es un caso especial de un sistema de Morse-Smale .