Golygon

Un golygon , o más generalmente un isógono serial de 90° , es cualquier polígono con todos sus ángulos rectos (un polígono rectilíneo ) cuyos lados tienen longitudes enteras consecutivas . Los golygons fueron inventados y nombrados por Lee Sallows , y popularizados por AK Dewdney en una columna de Scientific American de 1990 (Smith). ^{[ 1 ]} Las variaciones en la definición de golygons incluyen permitir que los bordes se crucen, usar secuencias de longitudes de borde distintas de los enteros consecutivos y considerar ángulos de giro distintos de 90°. ^{[ 2 ]}

En cualquier golygon, todas las aristas horizontales tienen la misma paridad entre sí, al igual que todas las aristas verticales. Por lo tanto, el número n de lados debe permitir la solución del sistema de ecuaciones.

${\displaystyle \pm 1\pm 3\pm \cdots \pm (n-1)=0}$

${\displaystyle \pm 2\pm 4\pm \cdots \pm n=0.}$

De esto se deduce que n debe ser un múltiplo de 8. Por ejemplo, en la figura tenemos${\displaystyle -1+3+5-7=0}$y${\displaystyle 2-4-6+8=0}$.

El número de golygones para un valor permisible dado de n puede calcularse eficientemente usando funciones generadoras (secuencia A007219 en el OEIS ) . El número de golygones para valores permisibles de n es 4, 112, 8432, 909288, etc. ^{[ 3 ]} Encontrar el número de soluciones que corresponden a golygones que no se cruzan parece ser significativamente más difícil.

Hay un golygon único de ocho lados (mostrado en la figura); puede cubrir el plano mediante una rotación de 180 grados utilizando el criterio de Conway .

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  Golígono de 16 lados. Espirolateral 16 _90° ^1,3,6,8,11
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  Golígono de 32 lados. Espirolateral 32 _90° ^{1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31}

Un isógono de lados seriales de orden n es un polígono cerrado con un ángulo constante en cada vértice y con lados consecutivos de longitud 1, 2, ..., n unidades. El polígono puede ser autointersecante. ^{[ 4 ]} Los golygones son un caso especial de isógonos de lados seriales. ^{[ 5 ]}

Un espirolateral es una construcción similar, notada como n _θ ^{i ₁ , i ₂ ,..., i _k} que secuencia longitudes 1,2,3,..., n con ángulos internos θ , con la opción de repetirse hasta que vuelva a cerrarse con el vértice original. Los superíndices i ₁ , i ₂ ,..., i _k enumeran las aristas que siguen direcciones de giro opuestas.

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  Un isógono de lados seriales de orden 9, ángulo interno 60°. ^{[ 5 ]} Espirolateral 60° ₉ ^1,4,7 .
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  Un isógono de lados seriales de orden 11, ángulo interno 60°. ^{[ 5 ]} Espirolateral 60° ₁₁ ^4,5,7,8 .
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  Un isógono de lados seriales de orden 12, ángulo interno 120°. ^{[ 5 ]} Espirolateral 120° ₁₂ ^1,4,8 .
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  Un isógono de lados seriales de orden 5, con ángulos internos de 60° y 120°. ^{[ 5 ]}

• Golygons en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros