Circunferencia (análisis funcional)

En análisis funcional , la circunferencia de un espacio de Banach es el ínfimo de longitudes de curvas cerradas simples con simetría central en la esfera unitaria del espacio. De forma equivalente, es el doble del ínfimo de distancias entre puntos opuestos de la esfera, medidas dentro de ella. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Todo espacio de Banach de dimensión finita posee un par de puntos opuestos en la esfera unitaria que alcanzan la distancia mínima, y ​​una curva cerrada simple con simetría central que alcanza la longitud mínima. Sin embargo, dicha curva no siempre existe en espacios de dimensión infinita. ^{[ 1 ]}

La circunferencia siempre es al menos cuatro, porque el camino más corto en la esfera unitaria entre dos puntos opuestos no puede ser más corto que el segmento de línea de longitud dos que los conecta a través del origen del espacio. Un espacio de Banach para el cual es exactamente cuatro se dice que es plano . Existen espacios de Banach planos de dimensión infinita en los que la circunferencia se alcanza mediante una curva de longitud mínima; un ejemplo es el espacio C [0,1] de funciones continuas desde el intervalo unitario hasta los números reales , con la norma del supremo . La esfera unitaria de dicho espacio tiene la propiedad contraintuitiva de que ciertos pares de puntos opuestos tienen la misma distancia dentro de la esfera que en todo el espacio. ^{[ 3 ]}

La circunferencia es una función continua en el compacto de Banach-Mazur , un espacio cuyos puntos corresponden a los espacios vectoriales normados de una dimensión dada. ^{[ 2 ]} La circunferencia del espacio dual de un espacio vectorial normado siempre es igual a la circunferencia del espacio original. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

• Geometría sistólica