Baraja de Gilbreath

El método de barajado de Gilbreath es una forma de barajar una baraja de cartas, que recibe su nombre del matemático Norman Gilbreath (también conocido por la conjetura de Gilbreath ). El principio de Gilbreath describe las propiedades de una baraja que se conservan con este tipo de barajado, y una permutación de Gilbreath es una permutación que se puede formar mediante dicho método. ^{[ 1 ]}

Un barajado de Gilbreath consta de los siguientes dos pasos: ^{[ 1 ]}

• Reparte cualquier número de cartas de la parte superior de una baraja para formar un segundo montón de cartas.
• Mezcla la nueva pila con el resto de la baraja.

Se diferencia del procedimiento más común de dividir una baraja en dos montones y luego barajar los montones, en que el primer paso de repartir las cartas invierte el orden de las cartas en el nuevo montón, mientras que dividir la baraja conserva este orden.

Aunque aparentemente muy aleatorio, el método de barajado de Gilbreath conserva muchas propiedades de la baraja inicial. Por ejemplo, si la baraja inicial alterna entre cartas negras y rojas, después de un solo barajado de Gilbreath la baraja seguirá teniendo la propiedad de que, si se agrupa en pares consecutivos, cada par contendrá una carta negra y una roja. Del mismo modo, si se utiliza el método de barajado de Gilbreath en una baraja donde cada carta es del mismo palo que la carta cuatro posiciones anterior, y la baraja resultante se agrupa en conjuntos consecutivos de cuatro cartas, cada conjunto contendrá una carta de cada palo. Este fenómeno se conoce como el principio de Gilbreath y es la base de varios trucos de cartas . ^{[ 1 ]}

Matemáticamente, las barajadas de Gilbreath se pueden describir mediante permutaciones de Gilbreath , permutaciones de los números del 1 al n que se pueden obtener mediante una baraja de Gilbreath con una baraja de cartas etiquetadas con estos números en orden. Las permutaciones de Gilbreath se pueden caracterizar por la propiedad de que cada prefijo contiene un conjunto consecutivo de números. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, la permutación (5,6,4,7,8,3,2,9,1,10) es una permutación de Gilbreath para n  =  10 que se puede obtener repartiendo las primeras cuatro o cinco cartas y barajándolas con el resto. Cada uno de sus prefijos (5), (5,6), (5,6,4), (5,6,4,7), etc., contiene un conjunto de números que (al ordenarse) forman una subsecuencia consecutiva de los números del 1 al 10. De forma equivalente, en términos de patrones de permutación , las permutaciones de Gilbreath son las permutaciones que evitan los dos patrones 132 y 312. ^{[ 2 ]}

Una barajada de Gilbreath puede determinarse de forma única especificando cuáles de las posiciones en la baraja barajada resultante están ocupadas por cartas que se repartieron en el segundo montón, y qué posiciones están ocupadas por cartas que no se repartieron. Por lo tanto, hay${\displaystyle 2^{n}}$posibles formas de realizar un barajado Gilbreath en una baraja de${\displaystyle n}$cartas. Sin embargo, cada permutación de Gilbreath puede obtenerse de dos barajados de Gilbreath diferentes, ya que la primera posición de la permutación puede provenir de cualquiera de los dos montones. Por lo tanto, hay${\displaystyle 2^{n-1}}$distintas permutaciones de Gilbreath. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Las permutaciones cíclicas de Gilbreath de orden${\displaystyle n}$están en correspondencia uno a uno con los números reales.${\displaystyle c}$para la cual la iteración${\displaystyle x\mapsto x^{2}+c}$(a partir de${\displaystyle x=0}$) subyacente al conjunto de Mandelbrot es periódico con período${\displaystyle n}$En esta correspondencia, la permutación que corresponde a un valor dado${\displaystyle c}$describe el orden numérico ordenado de las iteraciones para${\displaystyle c}$. ^{[ 1 ]} El número de permutaciones cíclicas de Gilbreath (y por lo tanto también el número de puntos periódicos reales del conjunto de Mandelbrot), para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$, viene dado por la secuencia entera

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\8\\9\\10\end{matrix}}\to {\begin{matrix}5\\6\\7\\8\\9\\10\end{matrix}}{\begin{matrix}4\\3\\2\\1\end{matrix}}\to {\begin{matrix}4\\5\\6\\3\\7\\2\\8\\9\\1\\10\end{matrix}}}$

Aquí hay un ejemplo que ilustra el teorema. Para una baraja de diez cartas, podemos repartir cuatro cartas en un pequeño montón sobre la mesa (una por una) y luego barajarlas en cascada para obtener la disposición π anterior.

Un teorema llamado "el principio de Gilbreath definitivo" establece que, para una permutación${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,n\}}$, las siguientes cuatro propiedades son equivalentes: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \pi }$es una permutación de Gilbreath.
• Para cada${\displaystyle j}$, el superior${\displaystyle j}$tarjetas${\displaystyle \pi (1),\dots \pi (j)}$son distintos módulo${\displaystyle j}$.
• Para cada${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$con${\displaystyle kj\leq n}$, el${\displaystyle j}$tarjetas${\displaystyle \pi {\bigl (}(k-1)j+1{\bigr )},\pi {\bigl (}(k-1)j+2{\bigr )},\dots ,\pi (kj)}$son distintos módulo${\displaystyle j}$.
• Para cada${\displaystyle j}$, el superior${\displaystyle j}$Las cartas son consecutivas en${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$.