Geometrografía

En el campo matemático de la geometría, la geometrografía es el estudio de las construcciones geométricas. ^[1] Los conceptos y métodos de la geometrografía fueron expuestos por primera vez por Émile Lemoine (1840-1912), un ingeniero civil y matemático francés , en una reunión de la Asociación Francesa para el Avance de las Ciencias celebrada en Orán en 1888. ^[1] Lemoine luego amplió sus ideas en otra memoria leída en la reunión de Pau de la misma Asociación celebrada en 1892. ^[2]

En geometría elemental es bien sabido que ciertas construcciones geométricas son más simples que otras. Pero en muchos casos resulta que la aparente simplicidad de una construcción no consiste en la ejecución práctica de la construcción, sino en la brevedad del enunciado de lo que se debe hacer. ¿Puede entonces establecerse algún criterio objetivo mediante el cual se pueda formar una estimación de la relativa simplicidad de varias construcciones diferentes para alcanzar el mismo fin? Lemoine desarrolló las ideas de la geometrografía para responder a esta pregunta. ^[1] También se plantea la cuestión de la ubicuidad de una construcción. Es importante considerar si una construcción, independientemente de su simplicidad, puede aplicarse en todas o en la mayoría de las condiciones, o sólo en los casos especiales.

Al desarrollar las ideas de la geometrografía, Lemoine se limitó a las construcciones euclidianas utilizando únicamente reglas y compases . Según el análisis de Lemoine, todas esas construcciones pueden ejecutarse como una secuencia de operaciones seleccionadas de un conjunto fijo de cinco operaciones elementales. Las cinco operaciones elementales identificadas por Lemoine son las siguientes:

Operaciones elementales en una construcción geométrica

En una construcción geométrica el hecho de que una operación X se deba realizar n veces se denota con la expresión n X. La operación de colocar una regla en coincidencia con dos puntos se indica con 2R ₁ . La operación de poner una punta del compás en un punto determinado y la otra punta del compás en otro punto determinado es 2C ₁ .

Toda construcción geométrica puede representarse mediante una expresión de la siguiente forma

l1R1 + l2R2 _{+ m1C1 +} m2C2 + _m3C3 .​_​​_​​​_​​_​​​_​​_​​

Aquí los coeficientes l ₁ , etc. denotan el número de veces que se realiza una operación particular.

El número l ₁ + l ₂ + m ₁ + m ₂ + m ₃ se denomina coeficiente de simplicidad o simplicidad de la construcción . Indica el número total de operaciones.

El número l ₁ + m ₁ + m ₂ se llama coeficiente de exactitud o exactitud de la construcción ; denota el número de operaciones preparatorias de las que depende la exactitud de la construcción.

Lemoine aplicó su esquema para analizar más de sesenta problemas de geometría elemental. ^[1]

• La construcción de un triángulo dados los tres vértices se puede representar mediante la expresión 4R ₁ + 3R ₂ .
• Una cierta construcción del heptadecágono regular que involucra los círculos de Carlyle se puede representar mediante la expresión 8R ₁ + 4R ₂ + 22C ₁ + 11C ₃ y tiene una simplicidad de 45. ^[3]

• Hess, Adrien L (marzo-abril de 1956). «Ciertos temas relacionados con construcciones con reglas y compases». Revista de matemáticas . 29 (4): 217-221 . doi :10.2307/3029638. JSTOR  3029638.
• Newton, Guy Thornwel (1926). Geometrografía con aplicaciones a los instrumentos del dibujante . Universidad de Texas. pág. 190.
• DeTemple, Duane W. (febrero de 1991). "Carlyle circles and Lemoine symphonic constructions" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 208. doi :10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015 . Consultado el 6 de noviembre de 2011 .