dislocaciones geométricamente necesarias

Las dislocaciones geométricamente necesarias son dislocaciones del mismo signo necesarias para acomodar la flexión plástica en un material cristalino . ^{[ 1 ]} Están presentes cuando la deformación plástica de un material va acompañada de gradientes de deformación plástica internos. ^{[ 2 ]} Se diferencian de las dislocaciones almacenadas estadísticamente, con estadísticas de signos positivos y negativos iguales, que surgen durante el flujo plástico a partir de procesos de multiplicación como la fuente de Frank-Read.

Nye introdujo un conjunto de tensores (el llamado tensor de Nye) para calcular la densidad de dislocaciones geométricamente necesaria. ^{[ 4 ]}

Para dislocaciones tridimensionales en un cristal, considerando una región donde los efectos de las dislocaciones se promedian (es decir, el cristal es lo suficientemente grande). Las dislocaciones se pueden determinar mediante vectores de Burgers . Si un circuito de Burgers de área unitaria normal al vector unitario${\displaystyle l_{j}}$tiene un vector de hamburguesas${\displaystyle B_{i}}$

${\ Displaystyle B_ {i} = \ alpha _ {ij} l_ {j}}$(${\displaystyle i,j=1,2,3}$)

donde el coeficiente${\displaystyle \alpha _{ij}}$es el tensor de Nye que relaciona el vector unitario${\displaystyle l_{j}}$y vector de hamburguesas${\displaystyle B_{i}}$Este tensor de segundo rango determina el estado de dislocación de una región especial.

Asumir${\displaystyle B_{i}=b_{i}(nr_{j}l_{j})}$, dónde${\displaystyle r}$es el vector unitario paralelo a las dislocaciones y${\displaystyle b}$es el vector de Burgers, n es el número de dislocaciones que cruzan la unidad de área normal a${\displaystyle r}$. De este modo,${\displaystyle \alpha _{ij}=nb_{i}r_{j}}$. El total${\displaystyle \alpha _{ij}}$es la suma de todos los diferentes valores de${\displaystyle nb_{i}r_{j}}$Supongamos un tensor de segundo rango.${\displaystyle k_{ij}}$para describir la curvatura de la red,${\displaystyle d\phi _{i}=k_{ij}dx_{j}}$, dónde${\displaystyle d\phi _{i}}$son las pequeñas rotaciones de la red alrededor de los tres ejes y${\displaystyle dx_{j}}$es el vector de desplazamiento. Se puede demostrar que${\displaystyle k_{ij}=\alpha _{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ij}\alpha _{kk}}$dónde${\displaystyle \delta _{ij}=1}$para${\displaystyle i=j}$, y${\displaystyle \delta _{ij}=0}$para${\displaystyle i\neq j}$.

La ecuación de equilibrio produce${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ij}}{\partial x_{j}}}=0}$. Desde${\displaystyle k_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x_{j}}}}$, de este modo${\displaystyle {\frac {\partial k_{ij}}{\partial x_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x_{j}\partial x_{k}}\phi _{i}={\frac {\partial k_{ik}}{\partial x_{j}}}}$. Sustituyendo${\displaystyle \alpha }$para${\displaystyle k}$,${\displaystyle {\frac {\partial \alpha _{ji}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial \alpha _{ki}}{\partial x_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta _{ij}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{k}}}-\delta _{ik}{\frac {\partial \alpha _{ll}}{\partial x_{j}}})}$Debido a la solución cero para ecuaciones con${\displaystyle j=k}$son cero y la simetría de${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$, solo quedan nueve ecuaciones independientes de las veintisiete permutaciones posibles de${\displaystyle i,j,k}$El tensor de Nye${\displaystyle \alpha _{ij}}$puede determinarse mediante estas nueve ecuaciones diferenciales.

Por lo tanto, el potencial de dislocación se puede escribir como${\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha _{ij}k_{ij}}$, dónde${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha _{kl}}{\partial k_{ij}}}k_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha _{ij}+{\frac {1}{2}}k_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}k_{kk}=\alpha _{ij}}$.

El ensayo de tracción uniaxial se ha utilizado ampliamente para obtener las relaciones tensión-deformación y las propiedades mecánicas asociadas de muestras macroscópicas. Sin embargo, existe un almacenamiento adicional de defectos asociados a la deformación plástica no uniforme en dislocaciones geométricamente necesarias, y un ensayo macroscópico ordinario, como el ensayo de tracción uniaxial, no es suficiente para capturar los efectos de dichos defectos, como el gradiente de deformación plástica. Además, las dislocaciones geométricamente necesarias se encuentran en la escala micrométrica, donde un ensayo de flexión normal realizado a escala milimétrica no logra detectarlas. ^{[ 5 ]}

Solo después de la invención de métodos con resolución espacial y angular para medir la distorsión de la red mediante difracción de electrones retrodispersados ​​por Adams et al. ^{[ 6 ]} en 1997, se hicieron posibles las mediciones experimentales de dislocaciones geométricamente necesarias. Por ejemplo, Sun et al. ^{[ 7 ]} en 2000 estudiaron el patrón de curvatura de la red cerca de la interfaz de bicristales de aluminio deformados utilizando microscopía de imagen de orientación basada en difracción. De este modo, se logró la observación de dislocaciones geométricamente necesarias utilizando los datos de curvatura.

Pero debido a limitaciones experimentales, la densidad de dislocaciones geométricamente necesarias para un estado de deformación general era difícil de medir hasta que Kysar et al. ^{[ 8 ]} introdujeron un método de límite inferior en 2010. Estudiaron la indentación en cuña con un ángulo incluido de 90 grados en un monocristal de níquel (y posteriormente Dahlberg et al. ^{[ 9 ]} también dispusieron de ángulos incluidos de 60 y 120 grados ). Al comparar la orientación de la red cristalina en la configuración deformada con la muestra homogénea sin deformar, pudieron determinar la rotación de la red en el plano y encontraron que era un orden de magnitud mayor que las rotaciones de la red fuera del plano, demostrando así la hipótesis de deformación plana.

El tensor de densidad de dislocaciones de Nye ^{[ 4 ]} tiene solo dos componentes no nulas debido al estado de deformación bidimensional, las cuales pueden derivarse de las mediciones de rotación de la red. Dado que la relación lineal entre las dos componentes del tensor de Nye y las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias suele estar subdeterminada, la densidad total de dislocaciones geométricamente necesarias se minimiza sujeta a esta relación. Esta solución de límite inferior representa la densidad mínima de dislocaciones geométricamente necesarias en el cristal deformado, consistente con la geometría de la red medida. En regiones donde solo se sabe que uno o dos sistemas de deslizamiento efectivos están activos, la solución de límite inferior se reduce a la solución exacta para las densidades de dislocaciones geométricamente necesarias.

Porque${\displaystyle \rho _{g}}$es además de la densidad de dislocaciones almacenadas estadísticamente${\displaystyle \rho _{s}}$, el aumento en la densidad de dislocaciones debido a los policristales acomodados conduce a un efecto de tamaño de grano durante el endurecimiento por deformación ; es decir, los policristales de tamaño de grano más fino tenderán a endurecerse por trabajo más rápidamente. ^{[ 2 ]}

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden proporcionar endurecimiento, existiendo dos mecanismos en diferentes casos. El primer mecanismo proporciona endurecimiento isotrópico macroscópico mediante la interacción local de dislocaciones, por ejemplo, la formación de escalones cuando una dislocación geométricamente necesaria existente es cortada por una dislocación en movimiento. El segundo mecanismo es el endurecimiento cinemático mediante la acumulación de tensiones de retroceso de largo alcance. ^{[ 10 ]}

Las dislocaciones geométricamente necesarias pueden disminuir su energía libre apilándose unas sobre otras (véase la fórmula de Peach-Koehler para las tensiones entre dislocaciones) y formar límites de inclinación de bajo ángulo . Este movimiento a menudo requiere que las dislocaciones asciendan a diferentes planos de deslizamiento, por lo que suele ser necesario un recocido a temperatura elevada. El resultado es un arco que pasa de estar continuamente curvado a estar discretamente curvado con inflexiones en los límites de inclinación de bajo ángulo. ^{[ 1 ]}