media geométrica-armónica

En matemáticas , la media geométrica-armónica M ( x , y ) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente manera: calculamos la media geométrica de g₀ = x y h₀ = y y la denominamos _g₁ , es decir, _g₁ es _la raíz cuadrada de xy . También calculamos la media armónica de x e y y la denominamos h₁ _, es decir, _h₁ es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de x e y _. Estos cálculos pueden realizarse de forma secuencial (en cualquier orden) o simultánea.

Ahora podemos iterar esta operación con g ₁ tomando el lugar de x y h ₁ tomando el lugar de y . De esta manera, se definen dos secuencias interdependientes ( g _n ) y ( h _{n ):}

${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}}$

y

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2{g_{n}}{h_{n}}}{g_{n}+h_{n}}}}$

Ambas secuencias convergen al mismo número, al que llamamos media geométrica-armónica M( x , y ) de x e y . La media geométrica-armónica también se denomina media armónica-geométrica . (Véase Wolfram MathWorld más abajo).   

La existencia del límite puede probarse mediante el teorema de Bolzano-Weierstrass de una manera casi idéntica a la prueba de existencia de la media aritmético-geométrica .

M( x , y ) es un número entre la media geométrica y la media armónica de x e y ; en particular, está entre x e y . M( x , y ) también es homogéneo , es decir, si r > 0, entonces M( rx , ry ) = r M( x , y ).       

Si AG( x , y ) es la media aritmético-geométrica , entonces también tenemos

${\displaystyle M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}}$

Tenemos la siguiente desigualdad que involucra las medias pitagóricas { H , G , A } y las medias pitagóricas iteradas { HG , HA , GA }:    

${\displaystyle \min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y)\leq \max(x,y)}$

donde las medias pitagóricas iteradas se han identificado con sus partes { H , G , A } en orden progresivo:  

• H ( x , y ) es la media armónica, 
• HG ( x , y ) es la media armónica-geométrica, 
• G ( x , y ) = HA ( x , y ) es la media geométrica (que también es la media armónica-aritmética),   
• GA ( x , y ) es la media geométrica-aritmética, 
• A ( x , y ) es la media aritmética. 

• Media aritmético-geométrica
• Media aritmético-armónica
• Significar

• Weisstein, Eric W. "Media geométrica armónica" . MathWorld .