Geomatemáticas

La geomatemática (también: geociencias matemáticas , geología matemática , geofísica matemática ) es la aplicación de métodos matemáticos para resolver problemas en las geociencias , incluidas la geología y la geofísica , y particularmente la geodinámica y la sismología .

La dinámica de fluidos geofísica desarrolla la teoría de la dinámica de fluidos para la atmósfera, el océano y el interior de la Tierra. ^[1] Las aplicaciones incluyen la geodinámica y la teoría del geodinamo .

La teoría inversa geofísica se ocupa del análisis de datos geofísicos para obtener parámetros del modelo. ^{[2] [3]} Se ocupa de la pregunta: ¿Qué se puede saber sobre el interior de la Tierra a partir de mediciones en la superficie? Generalmente hay límites a lo que se puede saber incluso en el límite ideal de datos exactos. ^[4]

El objetivo de la teoría inversa es determinar la distribución espacial de alguna variable (por ejemplo, la densidad o la velocidad de las ondas sísmicas). La distribución determina los valores de un observable en la superficie (por ejemplo, la aceleración gravitacional para la densidad). Debe existir un modelo directo que prediga las observaciones de la superficie dada la distribución de esta variable.

Las aplicaciones incluyen geomagnetismo , magnetotelúrica y sismología.

Muchos conjuntos de datos geofísicos tienen espectros que siguen una ley de potencia , lo que significa que la frecuencia de una magnitud observada varía como una potencia de la magnitud. Un ejemplo es la distribución de magnitudes de terremotos ; los terremotos pequeños son mucho más comunes que los grandes. Esto suele ser un indicador de que los conjuntos de datos tienen una geometría fractal subyacente . Los conjuntos fractales tienen una serie de características comunes, incluida la estructura a muchas escalas, la irregularidad y la autosimilitud (se pueden dividir en partes que se parecen mucho al todo). La forma en que se pueden dividir estos conjuntos determina la dimensión de Hausdorff del conjunto, que generalmente es diferente de la dimensión topológica más familiar . Los fenómenos fractales están asociados con el caos , la criticidad autoorganizada y la turbulencia . ^[5] Modelos fractales en las ciencias de la Tierra de Gabor Korvin fue uno de los primeros libros sobre la aplicación de los fractales en las ciencias de la Tierra . ^[6]

La asimilación de datos combina modelos numéricos de sistemas geofísicos con observaciones que pueden ser irregulares en el espacio y el tiempo. Muchas de las aplicaciones involucran dinámica de fluidos geofísicos. Los modelos de dinámica de fluidos se rigen por un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales . Para que estas ecuaciones hagan buenas predicciones, se necesitan condiciones iniciales precisas. Sin embargo, a menudo las condiciones iniciales no se conocen muy bien. Los métodos de asimilación de datos permiten que los modelos incorporen observaciones posteriores para mejorar las condiciones iniciales. La asimilación de datos juega un papel cada vez más importante en la predicción meteorológica . ^[7]

Algunos problemas estadísticos entran dentro del ámbito de la geofísica matemática, incluida la validación de modelos y la cuantificación de la incertidumbre.

Un área de investigación importante que utiliza métodos inversos es la tomografía sísmica , una técnica para obtener imágenes del subsuelo de la Tierra mediante ondas sísmicas . Tradicionalmente, se utilizaban ondas sísmicas producidas por terremotos o fuentes sísmicas antropogénicas (por ejemplo, explosivos, cañones de aire marinos).

La cristalografía es una de las áreas tradicionales de la geología que utilizan las matemáticas . Los cristalógrafos utilizan el álgebra lineal mediante la Matriz métrica . La Matriz métrica utiliza los vectores base de las dimensiones de la celda unitaria para encontrar el volumen de una celda unitaria, los espaciamientos d, el ángulo entre dos planos, el ángulo entre átomos y la longitud del enlace. ^[8] El índice de Miller también es útil en la aplicación de la Matriz métrica . La ecuación de Brag también es útil cuando se utiliza un microscopio electrónico para poder mostrar la relación entre los ángulos de difracción de la luz, la longitud de onda y los espaciamientos d dentro de una muestra. ^[8]

La geofísica es una de las disciplinas de las ciencias de la Tierra que más matemáticas requiere . Tiene muchas aplicaciones, entre ellas la gravedad , el magnetismo , la sísmica , la electricidad , la electromagnetismo , la resistividad , la radioactividad, la polarización inducida y el registro de pozos . ^[9] Los métodos gravitacionales y magnéticos comparten características similares porque miden pequeños cambios en el campo gravitacional en función de la densidad de las rocas de esa zona. ^[9] Aunque los campos gravitacionales similares tienden a ser más uniformes y suaves en comparación con los campos magnéticos , la gravedad se utiliza a menudo para la exploración petrolera y también se puede utilizar la sísmica, pero suele ser significativamente más cara. ^[9] La sísmica se utiliza más que la mayoría de las técnicas geofísicas debido a su capacidad de penetración, su resolución y su precisión.

Muchas aplicaciones de las matemáticas en geomorfología están relacionadas con el agua. En el aspecto del suelo se utilizan aspectos como la ley de Darcy , la ley de Stokes y la porosidad .

• La ley de Darcy se utiliza cuando se tiene un suelo saturado que es uniforme para describir cómo fluye el fluido a través de ese medio. ^[10] Este tipo de trabajo entraría dentro de la hidrogeología .
• La ley de Stokes mide la rapidez con la que partículas de distintos tamaños se sedimentan en un fluido. ^[10] Esto se utiliza al realizar análisis de suelos con pipeta para encontrar el porcentaje de arena, limo y arcilla. ^[11] Un error potencial es que supone partículas perfectamente esféricas que no existen.
• La energía de los ríos se utiliza para determinar la capacidad de un río de penetrar en el lecho del río . Esto es aplicable para ver dónde es probable que un río falle y cambie de curso o para observar el daño que causa la pérdida de sedimentos en un sistema fluvial (como aguas abajo de una represa).
• Las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar en múltiples áreas de la geomorfología , incluidas: la ecuación de crecimiento exponencial , la distribución de rocas sedimentarias, la difusión de gas a través de las rocas y las hendiduras de crenulación . ^[12]

Las matemáticas en glaciología se componen de teoría, experimentación y modelado. Por lo general, abarcan los glaciares , el hielo marino , el flujo de agua y la tierra debajo del glaciar.

El hielo policristalino se deforma más lentamente que el hielo monocristalino, debido a que la tensión se encuentra en los planos basales que ya están bloqueados por otros cristales de hielo. ^[13] Se puede modelar matemáticamente con la Ley de Hooke para mostrar las características elásticas mientras se utilizan las constantes de Lamé . ^[13] Generalmente, el hielo tiene sus constantes de elasticidad lineal promediadas sobre una dimensión del espacio para simplificar las ecuaciones mientras se mantiene la precisión. ^[13]

Se considera que el hielo policristalino viscoelástico tiene niveles bajos de estrés , generalmente por debajo de una barra . ^[13] Este tipo de sistema de hielo es donde se probaría el deslizamiento o las vibraciones de la tensión en el hielo. Una de las ecuaciones más importantes para esta área de estudio se llama función de relajación. ^[13] Donde es una relación de tensión-deformación independiente del tiempo. ^[13] Esta área generalmente se aplica al transporte o la construcción sobre hielo flotante. ^[13]

La aproximación de hielo superficial es útil para glaciares que tienen un espesor variable, con una pequeña cantidad de tensión y velocidad variable. ^[13] Uno de los principales objetivos del trabajo matemático es poder predecir la tensión y la velocidad, que pueden verse afectadas por cambios en las propiedades del hielo y la temperatura. Este es un área en el que se puede utilizar la fórmula de esfuerzo cortante basal. ^[13]

• Revista internacional de geomatemáticas
• Geociencias matemáticas

• Geocomputación
• Geoinformática
• Asociación Internacional de Geociencias Matemáticas (IAMG)

• Parker, Robert L. (1994). Teoría inversa geofísica . Princeton University Press . ISBN 0-691-03634-9.
• Pedlosky, Joseph (2005). Dinámica de fluidos geofísicos . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . ISBN 0-89871-572-5.
• Tarantola, Albert (1987). Teoría del problema inverso y métodos para la estimación de parámetros de modelos . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96387-1.
• Turcotte, Donald L. (1997). Fractales y caos en geología y geofísica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-56164-7.
• Wang, Bin; Zou, Xiaolei; Zhu, Jiang (2000). "Asimilación de datos y sus aplicaciones". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 97 (21): 11143–11144. Bibcode :2000PNAS...9711143W. doi : 10.1073/pnas.97.21.11143 . PMC  34050 . PMID  11027322.

• Agterberg, Frits (2014). Geomatemáticas: fundamentos teóricos, aplicaciones y desarrollos futuros . Cham: Springer. ISBN 978-3-319-06874-9.OCLC 885024357  .
• Merriam, Daniel F. (febrero de 1982). "Desarrollo, significado e influencia de la geomatemática: observaciones de un geólogo". Geología matemática . 14 (1). doi :10.1007/BF01037443.
• Freeden, W (2010). Manual de geomatemáticas. Berlín Londres: Springer. ISBN 978-3-642-01546-5.OCLC 676700046  .
• Bonham-Carter, Graeme; Cheng, Qiuming, eds. (2008). Progreso en geomatemáticas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-540-69496-0. ISBN 978-3-540-69495-3.