Jacobiano generalizado

En geometría algebraica, un jacobiano generalizado es un grupo algebraico conmutativo asociado a una curva con un divisor, que generaliza la variedad jacobiana de una curva completa. Fueron introducidos por Maxwell Rosenlicht en 1954 y pueden utilizarse para estudiar recubrimientos ramificados de una curva, con un grupo de Galois abeliano . Los jacobianos generalizados de una curva son extensiones del jacobiano de la curva mediante un grupo algebraico afín conmutativo , lo que proporciona ejemplos no triviales del teorema de estructura de Chevalley .

Supongamos que C es una curva completa no singular , m un divisor efectivo en C , S es el soporte de m y P es un punto base fijo en C que no pertenece a S. El jacobiano generalizado J _m es un grupo algebraico conmutativo con una aplicación racional f de C a J _m tal que:

• f lleva a P a la identidad de J _m .
• f es regular fuera de S.
• f ( D ) = 0 siempre que D sea el divisor de una función racional g en C tal que g ≡1 mod m .

Además, J _m es el grupo universal con estas propiedades, en el sentido de que cualquier aplicación racional de C a un grupo con las propiedades anteriores se factoriza de forma única a través de J _m . El grupo J _m no depende de la elección del punto base P , aunque cambiar P modifica dicha aplicación f mediante una traslación.

Para m = 0, el jacobiano generalizado J _m es simplemente el jacobiano usual J , una variedad abeliana de dimensión g , el género de C .

Para m un divisor efectivo distinto de cero, el jacobiano generalizado es una extensión de J mediante un grupo algebraico afín conmutativo conexo L _m de dimensión deg( m )−1. Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta.

0 → L _m → J _m → J → 0

El grupo L _m es un cociente

0 → G _m → Π U _{P i} ^{( n _i )} → L _m → 0

de un producto de grupos R _i por el grupo multiplicativo G _m del cuerpo subyacente. El producto recorre los puntos P _i en el soporte de m , y el grupo U _{P i} ^{( n _i )} es el grupo de elementos invertibles del anillo local módulo aquellos que son 1 mod P _i ^{n _i} . El grupo U _{P i} ^{( n _i )} tiene dimensión n _i , el número de veces que P _i aparece en m . Es el producto del grupo multiplicativo G _m por un grupo unipotente de dimensión n _i −1, que en característica 0 es isomorfo a un producto de n _i −1 grupos aditivos.

Sobre los números complejos , la estructura algebraica del jacobiano generalizado determina una estructura analítica del jacobiano generalizado, convirtiéndolo en un grupo de Lie complejo .

El subgrupo analítico subyacente al jacobiano generalizado se puede describir de la siguiente manera. (Esto no siempre determina la estructura algebraica, ya que dos grupos algebraicos conmutativos no isomorfos pueden ser isomorfos como grupos analíticos). Supongamos que C es una curva con un divisor efectivo m con soporte S. Hay una aplicación natural del grupo de homología H ₁ ( C  − S ) al dual Ω(− m )* del espacio vectorial complejo Ω(− m ) (1-formas con polos en m ) inducida por la integral de una 1-forma sobre un 1-ciclo. El jacobiano generalizado analítico es entonces el grupo cociente Ω(− m )*/ H ₁ ( C − S ).   

• Rosenlicht, Maxwell (1954), "Variedades jacobianas generalizadas.", Ann. of Math. , 2, 59 (3): 505– 530, doi : 10.2307/1969715 , JSTOR 1969715 , MR 0061422  
• Serre, Jean-Pierre (1988) [1959], Grupos algebraicos y cuerpos de clases. , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  117, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96648-X, MR 0103191