corchetes gaussianos

En matemáticas , los corchetes gaussianos son una notación especial inventada por Carl Friedrich Gauss para representar las convergentes de una fracción continua simple en forma de fracción simple . Gauss utilizó esta notación en el contexto de encontrar soluciones de ecuaciones indeterminadas de la forma . ^{[ 1 ]}${\displaystyle ax=por\pm 1}$

Esta notación no debe confundirse con el uso generalizado de corchetes para denotar la función parte entera: denota la parte entera menor o igual que . Esta notación también fue inventada por Gauss y se utilizó en la tercera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática . La notación , que denota la función piso , se usa ahora más comúnmente para denotar la parte entera menor o igual que . ^{[ 2 ]}${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$

La notación de corchetes gaussianos se define de la siguiente manera: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad [\,\,]&=1\\[1mm][a_{1}]&=a_{1}\\[1mm][a_{1},a_{2}]&=[a_{1}]a_{2}+[\,\,]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3}]&=[a_{1},a_{2}]a_{3}+[a_{1}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}+a_{3}\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]&=[a_{1},a_{2},a_{3}]a_{4}+[a_{1},a_{2}]\\[1mm]&=a_{1} a_{2}a_{3}a_{4}+a_{1}a_{2}+a_{1}a_{4}+a_{3}a_{4}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}]&=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]a_{5}+[a_{1},a_{2},a_{3}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{5}+a_{1}a_{4}a_{5}+a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}+a_{3}+a_{5}\\[1mm]\vdots &\\[1mm][a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]&=[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}]a_{n}+[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-2}]\end{aligned}}}$

La forma expandida de la expresión se puede describir así: "El primer término es el producto de todos los n miembros; después vienen todos los productos posibles de ( n -2) miembros en los que los números tienen índices alternados impares y pares en orden ascendente, comenzando cada uno con un índice impar; luego todos los productos posibles de ( n -4) miembros tienen asimismo índices alternados impares y pares sucesivamente mayores, comenzando cada uno con un índice impar; y así sucesivamente. Si el paréntesis tiene un número impar de miembros, termina con la suma de todos los miembros de índice impar; si tiene un número par, termina con la unidad." ^{[ 4 ]}${\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$

Con esta notación, se puede verificar fácilmente que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots {\frac {\ddots }{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}={\frac {[a_{2},\ldots ,a_{n}]}{[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}}}$

1. La notación entre corchetes también se puede definir mediante la relación de recursión :${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]=a_{1}[a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]+[a_{3},\ldots ,a_{n}]}$
2. La notación es simétrica o reversible en los argumentos:${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}]=[a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1}]}$
3. La expresión de corchetes gaussianos se puede escribir mediante un determinante: ${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]={\begin{vmatrix}a_{1}&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]1&a_{2}&-1&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]0&1&a_{3}&-1&\cdots &0&0&0\\[1mm]\vdots &&&&&&&\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &1&a_{n-1}&-1\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &0&1&a_{n}\end{vmatrix}}}$
4. La notación satisface la fórmula del determinante (para ello, utilice la convención de que ):${\displaystyle n=1}$${\displaystyle [a_{2},\ldots ,a_{0}]=0}$${\displaystyle \,\,{\begin{vmatrix}[a_{1},\ldots ,a_{n}]&[a_{1},\ldots ,a_{n-1}]\\[1mm][a_{2},\ldots ,a_{n}]&[a_{2},\ldots ,a_{n-1}]\end{vmatrix}}=(-1)^{n}}$
5. ${\displaystyle [-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n}]=(-1)^{n}[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$
6. Supongamos que los elementos de la expresión del corchete gaussiano son alternativamente 0. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\,\,\quad [a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1}]&=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2m+1}\\[1mm][a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1},0]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m}]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m},0]&=0\end{aligned}}}$

Los corchetes gaussianos han sido ampliamente utilizados por los diseñadores ópticos como un dispositivo que ahorra tiempo al calcular los efectos de los cambios en la potencia superficial, el espesor y la separación de la distancia focal , el aumento y las distancias del objeto y la imagen. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Los siguientes artículos ofrecen detalles adicionales sobre las aplicaciones de los corchetes gaussianos en óptica.

• Chen Ma, Dewen Cheng, Q. Wang y Chen Xu (noviembre de 2014). "Diseño de sistema óptico de una cámara de fondo de ojo sintonizable con líquido basada en el método de corchetes gaussianos". Acta Optica Sinica . 34 (11). doi : 10.3788/AOS201434.1122001 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Yi Zhong, Herbert Gross (mayo de 2017). "Método de diseño de sistemas iniciales para sistemas no simétricos rotacionalmente basado en corchetes gaussianos y teoría de aberraciones nodales" . Opt Express . 25 (9): 10016–10030 . Bibcode : 2017OExpr..2510016Z . doi : 10.1364/OE.25.010016 . PMID  28468369. Consultado el 24 de enero de 2023 .
• Xiangyu Yuan y Xuemin Cheng (noviembre de 2014). "Diseño de lentes basado en parámetros de forma de lentes usando corchetes gaussianos". En Wang, Yongtian; Du, Chunlei; Sasián, José; Tatsuno, Kimio (eds.). Optical Design and Testing VI . Vol. 9272. pp. 92721L. Bibcode : 2014SPIE.9272E..1LY . doi : 10.1117/12.2073422 . S2CID  121201008 .