teoría de la medida difusa

En matemáticas , la teoría de la medida difusa considera medidas generalizadas en las que la propiedad aditiva se reemplaza por la propiedad más débil de monotonicidad. El concepto central de la teoría de la medida difusa es la medida difusa (también llamada capacidad , véase ^{[ 1 ]} ), introducida por Choquet en 1953 y definida independientemente por Sugeno en 1974 en el contexto de las integrales difusas . Existen diversas clases de medidas difusas, entre las que se incluyen las medidas de plausibilidad/creencia , las medidas de posibilidad/necesidad y las medidas de probabilidad , que constituyen un subconjunto de las medidas clásicas .

Dejar${\displaystyle \mathbf {X} }$ser un universo de discurso ,${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una clase de subconjuntos de${\displaystyle \mathbf {X} }$, y${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$. Una función${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$dónde

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

se denomina medida difusa . Una medida difusa se denomina normalizada o regular si${\displaystyle g(\mathbf {X} )=1}$.

Una medida difusa es:

• aditivo si es necesario${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, tenemos${\displaystyle g(E\cup F)=g(E)+g(F).}$;
• supermodular si para alguno${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, tenemos${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$;
• submodular si para alguno${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, tenemos${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$;
• superaditivo si para alguno${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, tenemos${\displaystyle g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)}$;
• subaditivo si para cualquier${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$, tenemos${\displaystyle g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)}$;
• simétrico si para cualquier${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$, tenemos${\displaystyle |E|=|F|}$implica${\displaystyle g(E)=g(F)}$;
• Booleano si para alguno${\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}$, tenemos${\displaystyle g(E)=0}$o${\displaystyle g(E)=1}$.

Comprender las propiedades de las medidas difusas resulta útil en la práctica. Cuando se utiliza una medida difusa para definir una función, como la integral de Sugeno o la integral de Choquet , estas propiedades son cruciales para comprender su comportamiento. Por ejemplo, la integral de Choquet con respecto a una medida difusa aditiva se reduce a la integral de Lebesgue . En casos discretos, una medida difusa simétrica da como resultado el operador de promedio ponderado ordenado (OWA). Las medidas difusas submodulares dan como resultado funciones convexas, mientras que las medidas difusas supermodulares dan como resultado funciones cóncavas cuando se utilizan para definir una integral de Choquet.

Sea g una medida difusa. La representación de Möbius de g viene dada por la función de conjunto M , donde para cada${\displaystyle E,F\subseteq X}$,

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

Los axiomas equivalentes en la representación de Möbius son:

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}$, para todos${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$y todo${\displaystyle i\in E}$

Una medida difusa en la representación de Möbius M se denomina normalizada si${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

La representación de Möbius puede utilizarse para indicar qué subconjuntos de X interactúan entre sí. Por ejemplo, una medida difusa aditiva tiene valores de Möbius iguales a cero, excepto para los elementos únicos. La medida difusa g en la representación estándar puede recuperarse a partir de la forma de Möbius mediante la transformada zeta:

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

Las medidas difusas se definen en un semianillo de conjuntos o clase monótona , que puede ser tan granular como el conjunto potencia de X , e incluso en casos discretos el número de variables puede ser tan grande como 2 ^{| X |} . Por esta razón, en el contexto del análisis de decisiones multicriterio y otras disciplinas, se han introducido supuestos de simplificación sobre la medida difusa para que sea menos costoso computacionalmente determinarla y usarla. Por ejemplo, cuando se supone que la medida difusa es aditiva , se cumplirá que${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$y los valores de la medida difusa se pueden evaluar a partir de los valores en X. De manera similar, una medida difusa simétrica se define de forma única por los valores | X |. Dos medidas difusas importantes que se pueden utilizar son la de Sugeno o${\displaystyle \lambda }$-medida difusa y medidas k -aditivas, introducidas por Sugeno ^{[ 2 ]} y Grabisch ^{[ 3 ]} respectivamente.

En teoría de juegos , el valor de Shapley o índice de Shapley se utiliza para indicar la importancia de un juego. Los valores de Shapley se pueden calcular para medidas difusas con el fin de indicar la importancia de cada elemento. En el caso de medidas difusas aditivas, el valor de Shapley será el mismo para cada elemento.

Para una medida difusa dada g y${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$, el índice de Shapley para cada${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$es:

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

El valor de Shapley es el vector${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

• Teoría de la probabilidad
• Teoría de la posibilidad

• Beliakov, Pradera y Calvo, Funciones de agregación: una guía para profesionales , Springer, Nueva York, 2007.
• Wang, Zhenyuan y George J. Klir , Teoría de la medida difusa , Plenum Press, Nueva York, 1991.

• Teoría de la medida difusa en Procesamiento de imágenes difusas Archivado el 30/06/2019 en Wayback Machine