Marco de fusión

Dejar${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in {\mathcal {H}}}}$ser subespacios cerrados de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con pesos positivos${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$. Suponer${\displaystyle \{f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$es un marco para${\displaystyle W_{i}}$con límites de marco${\displaystyle C_{i}}$y${\displaystyle D_{i}}$. Dejar${\textstyle C=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}}$y${\textstyle D=\inf _{i\in {\mathcal {I}}}D_{i}}$, que satisfacen que${\displaystyle 0<C\leq D<\infty }$. Entonces${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$es un marco de fusión de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$si y solo si${\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$es un marco de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Además, si${\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$es un sistema de marco de fusión para${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con límites inferior y superior${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$es un marco de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con límites inferior y superior${\displaystyle AC}$y${\displaystyle BD}$. Y si${\displaystyle \{v_{i}f_{ij}\}_{i\in {\mathcal {I}},j\in J_{i}}}$es un marco de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con límites inferior y superior${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$es un sistema de marco de fusión para${\displaystyle {\mathcal {H}}}$con límites inferior y superior${\displaystyle E/D}$y${\displaystyle F/C}$. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle W\subset {\mathcal {H}}}$Sea un subespacio cerrado, y sea${\displaystyle \{x_{n}\}}$ser una base ortonormal de${\displaystyle W}$. Luego la proyección ortogonal de${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$sobre${\displaystyle W}$viene dado por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle P_{W}f=\sum \langle f,x_{n}\rangle x_{n}.}$

También podemos expresar la proyección ortogonal de${\displaystyle f}$sobre${\displaystyle W}$en términos de un marco local dado${\displaystyle \{f_{k}\}}$de${\displaystyle W}$

${\displaystyle P_{W}f=\sum \langle f,f_{k}\rangle {\tilde {f}}_{k},}$

dónde${\displaystyle \{{\tilde {f}}_{k}\}}$es un marco dual del marco local${\displaystyle \{f_{k}\}}$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ser un marco de fusión para${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Dejar${\displaystyle \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}$ser espacio de representación para proyección. El operador de análisis${\displaystyle T_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}$se define por

${\displaystyle T_{W}\left(f\right)=\{v_{i}P_{W_{i}}\left(f\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}.}$

El adjunto se denomina operador de síntesis.${\displaystyle T_{W}^{\ast }:\{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$, definido como

${\displaystyle T_{W}^{\ast }\left(g\right)=\sum v_{i}f_{i},}$

dónde${\displaystyle g=\{f_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\in \{\sum \bigoplus W_{i}\}_{l_{2}}}$.

El operador del marco de fusión${\displaystyle S_{W}:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$se define por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle S_{W}\left(f\right)=T_{W}^{\ast }T_{W}\left(f\right)=\sum v_{i}^{2}P_{W_{i}}\left(f\right).}$

Dados los límites inferior y superior del marco de fusión${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$,${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, el operador del marco de fusión${\displaystyle S_{W}}$puede estar delimitado por

${\displaystyle AI\leq S_{W}\leq BI,}$

dónde${\displaystyle I}$es el operador identidad. Por lo tanto, el operador de marco de fusión${\displaystyle S_{W}}$es positivo e invertible. ^{[ 2 ]}

Dado un sistema de marcos de fusión${\displaystyle \{\left(W_{i},v_{i},{\mathcal {F}}_{i}\right)\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$para${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=\{f_{ij}\}_{j\in J_{i}}}$, y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}=\{{\tilde {f}}_{ij}\}_{j\in J_{i}}}$, que es un marco doble para${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$, el operador del marco de fusión${\displaystyle S_{W}}$puede expresarse como

${\displaystyle S_{W}=\sum v_{i}^{2}T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }T_{{\mathcal {F}}_{i}}=\sum v_{i}^{2}T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}}$,

dónde${\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}}$,${\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}}$son operadores de análisis para${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$respectivamente y${\displaystyle T_{{\mathcal {F}}_{i}}^{\ast }}$,${\displaystyle T_{{\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}^{\ast }}$son operadores de síntesis para${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {F}}}_{i}}$respectivamente. ^{[ 1 ]}

Para marcos finitos (es decir,${\displaystyle \dim {\mathcal {H}}=:N<\infty }$y${\displaystyle |{\mathcal {I}}|<\infty }$), el operador del marco de fusión se puede construir con una matriz. ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle \{W_{i},v_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ser un marco de fusión para${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$y dejar${\displaystyle \{f_{ij}\}_{j\in {\mathcal {J}}_{i}}}$ser un marco para el subespacio${\displaystyle W_{i}}$y${\displaystyle J_{i}}$un conjunto de índices para cada${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$. Luego, el operador del marco de fusión${\displaystyle S:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$se reduce a un${\displaystyle N\times N}$matriz, dada por

${\displaystyle S=\sum _{i\in {\mathcal {I}}}v_{i}^{2}F_{i}{\tilde {F}}_{i}^{T},}$

con

${\displaystyle F_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\f_{i1}&f_{i2}&\cdots &f_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},}$

y

${\displaystyle {\tilde {F}}_{i}={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &&\vdots \\{\tilde {f}}_{i1}&{\tilde {f}}_{i2}&\cdots &{\tilde {f}}_{i|J_{i}|}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\end{bmatrix}}_{N\times |J_{i}|},}$

dónde${\displaystyle {\tilde {f}}_{ij}}$es el marco dual canónico de${\displaystyle f_{ij}}$.