Rango espectral libre

El rango espectral libre ( FSR ) es el espaciado en frecuencia óptica o longitud de onda entre dos máximos o mínimos sucesivos de intensidad óptica reflejada o transmitida de un interferómetro o elemento óptico difractivo . ^{[ 1 ]}

El FSR no siempre está representado por${\displaystyle \Delta \nu }$o${\displaystyle \Delta \lambda }$, pero en ocasiones se representa simplemente con las letras FSR. La razón es que estos diferentes términos suelen referirse al ancho de banda o al ancho de línea de una fuente emitida, respectivamente.

El rango espectral libre (FSR) de una cavidad en general viene dado por ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

Estas expresiones pueden derivarse de la condición de resonancia.${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$mediante la expansión${\displaystyle \Delta \beta }$en la serie Taylor . Aquí,${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$es el vector de onda de la luz dentro de la cavidad,${\displaystyle k_{0}}$y${\displaystyle \lambda }$son el vector de onda y la longitud de onda en el vacío,${\displaystyle n}$es el índice de refracción de la cavidad y${\displaystyle L}$es la longitud de ida y vuelta de la cavidad (nótese que para una cavidad de onda estacionaria,${\displaystyle L}$es igual al doble de la longitud física de la cavidad).

Dado que${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$, el FSR (en longitud de onda) viene dado por

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

ser${\displaystyle n_{\text{g}}}$es el índice de grupo de los medios dentro de la cavidad. o, equivalentemente,

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

dónde${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío.

Si la dispersión del material es insignificante, es decir${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$, entonces las dos expresiones anteriores se reducen a

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

y

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

Una interpretación intuitiva simple del FSR es que es el inverso del tiempo de ida y vuelta.${\displaystyle T_{R}}$:

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

En longitud de onda, el FSR viene dado por

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda de la luz en el vacío. Para una cavidad lineal, como el interferómetro Fabry-Pérot ^{[ 3 ]} que se analiza a continuación,${\displaystyle L=2l}$, dónde${\displaystyle L}$es la distancia recorrida por la luz en un viaje de ida y vuelta alrededor de la cavidad cerrada, y${\displaystyle l}$es la longitud de la cavidad.

El rango espectral libre de una red de difracción es el rango de longitud de onda más grande para un orden dado que no se superpone con el mismo rango en un orden adyacente. Si el orden ( m  +  1) de${\displaystyle \lambda }$y orden m de${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$yacen en el mismo ángulo, entonces

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

En un interferómetro Fabry-Pérot ^{[ 3 ]} o etalón, la separación de longitud de onda entre picos de transmisión adyacentes se denomina rango espectral libre del etalón y viene dada por

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

donde λ ₀ es la longitud de onda central del pico de transmisión más cercano, n es el índice de refracción del medio de la cavidad,${\displaystyle \theta }$es el ángulo de incidencia, y${\displaystyle l}$es el espesor de la cavidad. Con mayor frecuencia, el FSR se expresa en unidades de frecuencia, en lugar de longitud de onda:

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

El FSR está relacionado con el ancho a media altura δλ de cualquier banda de transmisión mediante una magnitud conocida como finura :

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

dónde${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$es el coeficiente de finura y R es la reflectividad de los espejos.

Esto se suele aproximar (para R > 0,5) mediante

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$