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Lógica de cuatro valores

Una lógica de cuatro valores es cualquier lógica con cuatro valores de verdad. Se han propuesto varios tipos de lógica de cuatro valores. El más común, sobre todo en electrónica...

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Una lógica de cuatro valores es cualquier lógica con cuatro valores de verdad. Se han propuesto varios tipos de lógica de cuatro valores. El más común, sobre todo en electrónica, es el estándar IEEE 0, 1, X, Z (consulte Verilog para obtener más información).

Belnap

Nuel Belnap consideró el desafío de la respuesta a preguntas mediante computadora en 1975. Reconociendo la falibilidad humana, le preocupaba el caso en el que se cargaban dos hechos contradictorios en la memoria y luego se realizaba una consulta. «Todos conocemos la fecundidad de las contradicciones en la lógica bivalente: las contradicciones nunca están aisladas, sino que infectan todo el sistema». [ 1 ] Belnap propuso una lógica tetravalente como medio para contener la contradicción. [ 2 ] [ 3 ]

Denominó a la tabla de valores A4 : sus posibles valores son verdadero , falso , ambos (verdadero y falso) y ninguno (ni verdadero ni falso). La lógica de Belnap está diseñada para manejar múltiples fuentes de información, de modo que si solo se encuentra verdadero , se asigna verdadero ; si solo se encuentra falso, se asigna falso ; si algunas fuentes dicen verdadero y otras falso , se asignan ambos ; y si ninguna fuente proporciona información, no se asigna ninguno. Estos cuatro valores corresponden a los elementos del conjunto potencia basados ​​en { V, F }.

T es el supremo y F el ínfimo en la red lógica donde Ninguno y Ambos están en los extremos. Belnap tiene esta interpretación: "Lo peor es que te digan que algo es falso, simplemente. Es mejor (es una de tus esperanzas) que no te digan nada al respecto, o que te digan tanto que es verdadero como que es falso; mientras que, por supuesto, lo mejor de todo es que te digan que es verdadero". Belnap señala que "paradojas de implicación"(A∧¬A)⟹B{\displaystyle (A\land \lnot A)\implies B}yA⟹(B∨¬B){\displaystyle A\implies (B\lor \lnot B)}se evitan en su sistema de 4 valores.

Conectores lógicos

Belnap abordó el desafío de extender los conectores lógicos a A4 . Dado que es el conjunto potencia en { T, F }, los elementos de A4 están ordenados por inclusión , lo que lo convierte en un retículo con Both en el supremo y N one en el ínfimo, y T y F en los extremos. Refiriéndose a Dana Scott , asume que los conectores son funciones continuas de Scott o monótonas . Primero expande la negación deduciendo que ¬Ambos=Ambos{\displaystyle \lnot {\text{Ambos}}={\text{Ambos}}}y¬Ninguno=Ninguno{\displaystyle \lnot {\text{Ninguno}}={\text{Ninguno}}}. Para expandir And y Or la monotonicidad solo llega hasta cierto punto. Belnap utiliza la equivalencia ((a∧b=a)⟺(a∨b=b){\displaystyle (a\land b=a)\iff (a\lor b=b)}) para completar las tablas de estos conectores. Él encuentraNinguno∧Ambos={\displaystyle {\text{Ninguno}}\land {\text{Ambos}}=}F mientrasNinguno∨Ambos={\displaystyle {\text{Ninguno}}\lor {\text{Ambos}}=}T.​

El resultado es una segunda red L4 llamada "red lógica", donde A4 es la "red de aproximación" que determina la continuidad de Scott.

Implementación usando dos bits

Asignemos un bit a cada valor de verdad: 01=V y 10=F con 00=N y 11=B. [ 4 ]

Entonces, la relación de subconjunto en el conjunto potencia en {T, F} corresponde al ordenab<dod⟺a<doyb<d{\displaystyle ab<cd\iff a<c\;{\text{y}}\;b<d}en representación de dos bits. Belnap llama a la red asociada con este orden la "red de aproximación".

La lógica asociada a las variables de dos bits puede incorporarse al hardware de la computadora. [ 5 ]

Transiciones matriciales

Como sistema discreto , la lógica de cuatro valores ilustra un conjunto de estados sujetos a transiciones mediante matrices lógicas para formar un sistema de transición . Una entrada de dos bits se transforma en una salida de dos bits mediante multiplicación de matrices .

Hay dieciséis matrices lógicas de 2 × 2 y cuatro vectores lógicos que actúan como entradas y salidas de las transiciones de la matriz:

X = {A, B, C, D} = {(0,1), (1, 0), (0, 0), (1, 1)}.

Cuando se introduce C, la salida siempre es C. Cuatro de los dieciséis tienen cero en una sola esquina, por lo que la salida de la multiplicación vector-matriz con aritmética booleana siempre es D, excepto cuando la entrada es C.

Se necesitan nueve matrices lógicas adicionales para describir el sistema de transición etiquetado donde las matrices etiquetan las transiciones. Excluyendo C, las entradas A, B y D se consideran en orden y la salida en X se expresa como una tripleta, por ejemplo ABD para (1001),{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}comúnmente conocida como matriz identidad .

Las matrices asimétricas difieren en su acción sobre los vectores fila y columna. Aquí se utiliza la convención de filas:

(1010){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}tiene código BBB, (0101){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}}código AAA
(1100){\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}tiene el código CDB, (0011){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}}código DCA.

Las operaciones restantes sobre X se expresan con matrices de tres ceros, por lo que las salidas incluyen C para un tercio de las entradas. En estos casos, los códigos son CAA, BCA, ACA y CBB.

Aplicaciones

El IEEE estableció una lógica de cuatro valores con el estándar IEEE 1364 : modela los valores de las señales en circuitos digitales. Los cuatro valores son 1 , 0 , Z y X. 1 y 0 representan verdadero y falso booleanos , Z representa alta impedancia o circuito abierto y X representa indiferencia (es decir, el valor no tiene efecto). Esta lógica es a su vez un subconjunto del estándar de lógica de nueve valores IEEE 1164 y se implementa en std_logic del lenguaje de descripción de hardware de circuitos integrados de muy alta velocidad ( VHDL ) .

No se debe confundir la lógica matemática de cuatro valores (que utiliza operadores, tablas de verdad, silogismos , cálculo proposicional, teoremas, etc.) con los protocolos de comunicación construidos con lógica binaria y que muestran respuestas con cuatro estados posibles implementados con valores de tipo booleano: por ejemplo, el estándar SAE J1939 , utilizado para la transmisión de datos CAN en vehículos pesados, que tiene cuatro valores lógicos (booleanos): Falso , Verdadero , Condición de error y No instalado (representados por los valores 0-3). Condición de error significa que hay un problema técnico que impide la adquisición de datos. La lógica para esto es, por ejemplo, Verdadero y Condición de error = Condición de error . No instalado se utiliza para una característica que no existe en este vehículo y debe ignorarse para el cálculo lógico. En CAN, normalmente se envían mensajes de datos fijos que contienen muchos valores de señal cada uno, por lo que una señal que represente una característica no instalada se enviará de todos modos.

Puerta propuesta de bit dividido

La creación de nanotubos de carbono para compuertas lógicas ha utilizado transistores de efecto de campo de nanotubos de carbono (CNFET). La demanda prevista de almacenamiento de datos en el Internet de las Cosas (IoT) constituye una motivación. Se ha propuesto una aplicación de proceso de 32 nm utilizando una compuerta de bits divididos: "Al utilizar la tecnología CNFET en el nodo de 32 nm mediante la compuerta SQI propuesta, se han sugerido arquitecturas QSRAM de dos líneas de bits divididas para abordar el problema de la creciente demanda de capacidad de almacenamiento en aplicaciones IoT/IoVT. Se han ofrecido circuitos periféricos, como un novedoso decodificador cuaternario a binario para QSRAM." [ 6 ]

Referencias

  1. ↑ Esta característica de la lógica bivalente se ha denominado principio de explosión .
  2. ↑ N. Belnap (1975) «Cómo deberían pensar las computadoras», páginas 30 a 56 en Aspectos contemporáneos de la filosofía , Gilbert Ryle (editor), Oriel Press ISBN 0-85362-161-6
  3. ↑ N. Belnap (1977) Una lógica cuatrivalente útil , en Usos modernos de la lógica multivalente , editado por J. Michael Dunn y George Epstein, Springer Books
  4. ↑ Greniewski, Henryk; Bochenek, Krystyn; Marczyński, Romuald (1955). "Aplicación del álgebra booleana bielemental a circuitos electrónicos" . Estudios Lógica . 2 : 7– 75. doi : 10.1007/BF02124765 . S2CID 122166200 . 
  5. ↑ Ben Choi (2013) "Avances de circuitos lógicos de dos a cuatro valores", Conferencia Internacional sobre Tecnología Industrial, IEEE , doi : 10.1109/ICIT.2013.6505818
  6. ↑ Ghasemian1, Arsalan; Abiri1, Ebrahim; Hassanli1, Kourosh; Darabi1, Abdolreza (11 de enero de 2022). "HF-QSRAM: Diseño de SRAM cuaternaria libre de selección parcial con circuitos periféricos necesarios para aplicaciones IoT/IoVT". ECS Journal of Solid State Science and Technology . 11 (1). IOP. 011002. Bibcode : 2022JSSST..11a1002G . doi : 10.1149/2162-8777/ac4798 . S2CID 245689866 . {{cite journal}}: CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )

Véase también

Lecturas adicionales

  • Arieli, Ofer; Avron, Arnon (diciembre de 2017). "Lógicas paradefinidas de cuatro valores" . Studia Logica . 105 (6) (publicado el 10 de abril de 2017): 1087–1122 . doi : 10.1007/s11225-017-9721-4 . S2CID 207243272 . 
  • Bimbó, Katalin ; Dunn, J. Michael (verano de 2001). " Lógica de cuatro valores" . Notre Dame Journal of Formal Logic . 42 (3): 171– 192. doi : 10.1305/ndjfl/1063372199 . MR 2010180. Zbl 1034.03021 – vía Project Euclid .  
  • Ferreira, J. Ulisses (30 de septiembre - 1 de octubre de 2017). Una lógica de cuatro valores (PDF) . IX Conferencia Internacional sobre Redes y Comunicaciones (NeCoM 2017) . Ciencias de la Computación y Tecnologías de la Información . Vol.  7, n.º  4. Dubái. págs. 71-84 . doi : 10.5121/csit.2017.71206 . ISBN  978-1-921987-72-4.