Cónicas focales

En geometría , las cónicas focales son un par de curvas que constan de ^{[1] [2} ]

• una elipse y una hipérbola , donde la hipérbola está contenida en un plano, que es ortogonal al plano que contiene la elipse. Los vértices de la hipérbola son los focos de la elipse y sus focos son los vértices de la elipse (ver diagrama).

o

• dos parábolas , que están contenidas en dos planos ortogonales y el vértice de una parábola es el foco de la otra y viceversa.

Las cónicas focales juegan un papel esencial a la hora de responder a la pregunta: "¿Qué conos circulares rectos contienen una elipse, hipérbola o parábola dada (ver más abajo)?".

Las cónicas focales se utilizan como directrices para generar ciclidos de Dupin como superficies de canales de dos maneras. ^{[3] [4]}

Las cónicas focales pueden verse como superficies focales degeneradas : las ciclidas de Dupin son las únicas superficies donde las superficies focales colapsan en un par de curvas, es decir, las cónicas focales. ^[5]

En química física, las cónicas focales se utilizan para describir las propiedades geométricas de los cristales líquidos . ^[6]

No se deben mezclar las cónicas focales con las cónicas confocales , ya que estas últimas tienen todos los mismos focos.

Ecuaciones

Si se describe la elipse en el plano xy de la forma común mediante la ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

entonces la hipérbola focal correspondiente en el plano xz tiene ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

¿Dónde está la excentricidad lineal de la elipse con${\estilo de visualización c}$${\displaystyle \;c^{2}=a^{2}-b^{2}\;.}$

Representaciones paramétricas

elipse: y${\displaystyle \quad {\vec {u}}(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)^{T}\ }$

hipérbola:${\displaystyle \ {\vec {v}}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )^{T}\ .}$

Dos parábolas en el plano xy y en el plano xz:

1. parábola: y${\displaystyle \ y^{2}=p^{2}-2px\ }$

2. parábola:${\displaystyle\z^{2}=2px\.}$

con el semi-lado recto de ambas parábolas. ${\estilo de visualización p}$

• Los vértices de los conos circulares rectos que pasan por una elipse dada se encuentran en la hipérbola focal perteneciente a la elipse.

Prueba

Se dan : Elipse con vértices y focos y un cono circular recto con vértice que contiene la elipse (ver diagrama). ${\estilo de visualización A,B}$${\estilo de visualización E,F}$${\estilo de visualización S}$

Debido a la simetría, el eje del cono debe estar contenido en el plano que pasa por los focos, que es ortogonal al plano de la elipse. Existe una esfera de Dandelin que toca el plano de la elipse en el foco y el cono en un círculo. Del diagrama y del hecho de que todas las distancias tangenciales de un punto a una esfera son iguales, se obtiene: ${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización F}$

${\displaystyle |AS|=|AA_{1}|+|A_{1}S|=|AF|+|B_{1}S|}$

${\displaystyle |BS|=|BB_{1}|+|B_{1}S|=|BF|+|B_{1}S|}$

Por eso:

${\displaystyle |AS|-|BS|=|AF|-|BF|=|EF|=}$constante.

y el conjunto de todos los vértices posibles se encuentran en la hipérbola con los vértices y los focos . ${\estilo de visualización E,F}$${\estilo de visualización A,B}$

De manera análoga se prueban los casos en que los conos contienen una hipérbola o una parábola. ^[7]

• Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: El universo de las cónicas , Springer, 2016, ISBN 3662454505 . 
• E. Müller, E. Kruppa: Lehrbuch der darstellenden Geomelrie , Springer-Verlag, Viena, 1961, ISBN 978-3-211-80589-3 .