Diagrama de flujo (matemáticas)

Un gráfico de flujo es una forma de dígrafo asociado a un conjunto de ecuaciones algebraicas o diferenciales lineales: ^{[1] [2]}

"Un gráfico de flujo de señales es una red de nodos (o puntos) interconectados por ramas dirigidas, que representan un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales. Los nodos de un gráfico de flujo se utilizan para representar las variables o parámetros, y las ramas de conexión representan los coeficientes que relacionan estas variables entre sí. El gráfico de flujo está asociado con una serie de reglas simples que permiten obtener todas las soluciones posibles [relacionadas con las ecuaciones]". ^[1]

Aunque esta definición utiliza los términos "gráfico de flujo de señal" y "gráfico de flujo" indistintamente, el término "gráfico de flujo de señal" se utiliza con mayor frecuencia para designar el gráfico de flujo de señal de Mason , siendo Mason el originador de esta terminología en su trabajo sobre redes eléctricas. ^{[3] [4]} Asimismo, algunos autores utilizan el término "gráfico de flujo" para referirse estrictamente al gráfico de flujo de Coates . ^{[5] [6]} Según Henley & Williams: ^[2]

"La nomenclatura está lejos de estar estandarizada y... no se puede esperar ninguna estandarización en el futuro previsible".

Una designación "gráfico de flujo" que incluya tanto el gráfico de Mason como el gráfico de Coates, y una variedad de otras formas de dichos gráficos ^[7] parece útil y concuerda con el enfoque de Abrahams y Coverley y con el de Henley y Williams. ^{[1] [2]}

Una red dirigida , también conocida como red de flujo , es un tipo particular de gráfico de flujo. Una red es un gráfico con números reales asociados a cada uno de sus bordes, y si el gráfico es un dígrafo, el resultado es una red dirigida . ^[8] Un gráfico de flujo es más general que una red dirigida, en el sentido de que los bordes pueden estar asociados a ganancias, ganancias de ramificación o transmitancias , o incluso funciones del operador de Laplace s , en cuyo caso se denominan funciones de transferencia . ^[2]

Existe una estrecha relación entre grafos y matrices y entre dígrafos y matrices. ^[9] "La teoría algebraica de matrices puede aplicarse a la teoría de grafos para obtener resultados elegantes", y a la inversa, los enfoques de teoría de grafos basados ​​en grafos de flujo se utilizan para la solución de ecuaciones algebraicas lineales. ^[10]

Se presenta un ejemplo de un diagrama de flujo conectado a algunas ecuaciones iniciales.

El conjunto de ecuaciones debe ser coherente y linealmente independiente. Un ejemplo de dicho conjunto es: ^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\5&-1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\0\end{bmatrix}}}$

La consistencia e independencia de las ecuaciones del conjunto se establece porque el determinante de los coeficientes no es cero, por lo que se puede encontrar una solución utilizando la regla de Cramer .

Utilizando los ejemplos de la subsección Elementos de los grafos de flujo de señales , construimos el grafo de la figura, en este caso un grafo de flujo de señales. Para comprobar que el grafo representa las ecuaciones dadas, vaya al nodo x ₁ . Observe las flechas que llegan a este nodo (de color verde para enfatizar) y los pesos asignados a ellas. La ecuación para x ₁ se satisface al equipararla a la suma de los nodos asociados a las flechas entrantes multiplicada por los pesos asignados a estas flechas. Del mismo modo, las flechas rojas y sus pesos proporcionan la ecuación para x ₂ , y las flechas azules para x ₃ .

Otro ejemplo es el caso general de tres ecuaciones simultáneas con coeficientes no especificados: ^[11]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}}$

Para configurar el diagrama de flujo, se reformulan las ecuaciones de modo que cada una identifique una sola variable al agregarla a cada lado. Por ejemplo:

${\displaystyle \left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}=x_{1}\ .}$

Utilizando el diagrama y sumando las ramas incidentes en x ₁ se ve que esta ecuación se satisface.

Como las tres variables entran en estas ecuaciones reformuladas de manera simétrica, la simetría se conserva en el gráfico al ubicar cada variable en la esquina de un triángulo equilátero. Al rotar la figura 120°, simplemente se permutan los índices. Esta construcción se puede extender a más variables al ubicar el nodo de cada variable en el vértice de un polígono regular con tantos vértices como variables.

Por supuesto, para que sean significativos los coeficientes se restringen a valores tales que las ecuaciones sean independientes y consistentes.

• Gráfico de Coates
• Gráfico de flujo de señales

• Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Determinantes". Un enfoque combinatorio de la teoría de matrices y sus aplicaciones . Chapman & Hall/CRC. pp. 63 y siguientes . ISBN 9781420082234.Una discusión de los gráficos de flujo de Coates y Mason.