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Trayectoria

Ilustración que muestra la trayectoria direccional de una bala disparada contra un objetivo en pendiente ascendente. Una trayectoria es el camino que sigue un objeto a través de...

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Ilustración que muestra la trayectoria direccional de una bala disparada contra un objetivo en pendiente ascendente.

Una trayectoria es el camino que sigue un objeto a través de su movimiento en el tiempo. [ 1 ] En mecánica clásica , una trayectoria se define mediante la mecánica hamiltoniana a través de coordenadas canónicas ; por lo tanto, una trayectoria completa se define mediante la posición y el momento , simultáneamente.

El objeto como masa podría ser un proyectil o un satélite . [ 2 ] Por ejemplo, puede ser una órbita : la trayectoria de un planeta , asteroide o cometa mientras viaja alrededor de una masa central .

En teoría de control , una trayectoria es un conjunto ordenado en el tiempo de estados de un sistema dinámico (véase, por ejemplo, el mapa de Poincaré ). En matemáticas discretas , una trayectoria es una secuencia(Fk(incógnita))k∈norte{\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}de valores calculados mediante la aplicación iterativa de una función de mapeoF{\displaystyle f}a un elementoincógnita{\displaystyle x}de su origen.

Física de las trayectorias

Un ejemplo común de trayectoria es la de un proyectil, como una pelota o una piedra lanzada. En un modelo significativamente simplificado, el objeto se mueve únicamente bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme . Esta puede ser una buena aproximación para una piedra lanzada a distancias cortas, por ejemplo, en la superficie de la Luna . En esta aproximación simple, la trayectoria tiene forma de parábola . Generalmente, al determinar trayectorias, puede ser necesario tener en cuenta las fuerzas gravitatorias no uniformes y la resistencia del aire ( arrastre y aerodinámica ). Este es el objeto de estudio de la balística .

Uno de los logros más notables de la mecánica newtoniana fue la derivación de las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario . En el campo gravitatorio de una masa puntual o una masa extendida con simetría esférica (como el Sol ), la trayectoria de un objeto en movimiento es una sección cónica , generalmente una elipse o una hipérbola . [ a ] Esto concuerda con las órbitas observadas de planetas , cometas y naves espaciales artificiales con una aproximación razonablemente buena, aunque si un cometa pasa cerca del Sol, también se ve influenciado por otras fuerzas como el viento solar y la presión de radiación , que modifican la órbita y hacen que el cometa expulse material al espacio.

La teoría de Newton se desarrolló posteriormente en la rama de la física teórica conocida como mecánica clásica . Esta emplea las matemáticas del cálculo diferencial (que Newton también inició en su juventud). A lo largo de los siglos, innumerables científicos han contribuido al desarrollo de estas dos disciplinas. La mecánica clásica se convirtió en una demostración fundamental del poder del pensamiento racional, es decir, de la razón , tanto en la ciencia como en la tecnología. Ayuda a comprender y predecir una enorme variedad de fenómenos ; las trayectorias son solo un ejemplo.

Consideremos una partícula de masametro{\displaystyle m}moviéndose en un campo potencialV{\displaystyle V}En términos físicos, la masa representa la inercia y el campoV{\displaystyle V}representa fuerzas externas de un tipo particular conocidas como "conservadoras". DadoV{\displaystyle V}En cada posición relevante, existe una manera de inferir la fuerza asociada que actuaría en esa posición, por ejemplo, la gravedad. Sin embargo, no todas las fuerzas pueden expresarse de esta manera.

El movimiento de la partícula se describe mediante la ecuación diferencial de segundo orden.

metrod2incógnita→(t)dt2=−∇V(incógnita→(t)) con incógnita→=(incógnita,y,z).{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}

En el lado derecho, la fuerza se da en términos de∇V{\displaystyle \nabla V}, el gradiente del potencial, tomado en posiciones a lo largo de la trayectoria. Esta es la forma matemática de la segunda ley del movimiento de Newton : fuerza es igual a masa por aceleración, para tales situaciones.

Ejemplos

Gravedad uniforme, sin resistencia ni viento.

Trayectorias de una masa lanzada con un ángulo de 70°:  sin resistencia del aire, con resistencia de Stokes, con resistencia de Newton.  

El caso ideal del movimiento de un proyectil en un campo gravitatorio uniforme, en ausencia de otras fuerzas (como la resistencia del aire), fue investigado por primera vez por Galileo Galilei . Ignorar la acción de la atmósfera en la configuración de la trayectoria habría sido considerado una hipótesis inútil por los investigadores pragmáticos durante toda la Edad Media en Europa . Sin embargo, al anticipar la existencia del vacío , que más tarde demostraría en la Tierra su colaborador Evangelista Torricelli , Galileo pudo iniciar la futura ciencia de la mecánica . En un vacío casi absoluto, como se ha comprobado, por ejemplo, en la Luna , su trayectoria parabólica simplificada resulta ser esencialmente correcta.

En el análisis que sigue, derivamos la ecuación de movimiento de un proyectil medida desde un sistema de referencia inercial en reposo con respecto al suelo. Asociado a dicho sistema de referencia se encuentra un sistema de coordenadas diestro con origen en el punto de lanzamiento del proyectil.incógnita{\displaystyle x}El eje -es tangente al suelo, y ely{\displaystyle y}El eje es perpendicular a él (paralelo a las líneas del campo gravitatorio). Seagramo{\displaystyle g}Sea la aceleración de la gravedad . Con respecto al terreno plano, sea la velocidad horizontal inicial.vh=vporque⁡(θ){\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}y la velocidad vertical inicial seavv=vpecado⁡(θ){\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}. También se demostrará que el rango es2vhvv/gramo{\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}y la altitud máxima esvv2/2gramo{\displaystyle v_{v}^{2}/2g}. El alcance máximo para una velocidad inicial dadav{\displaystyle v}se obtiene cuandovh=vv{\displaystyle v_{h}=v_{v}}, es decir, el ángulo inicial es 45∘{\displaystyle ^{\circ }}Este rango esv2/gramo{\displaystyle v^{2}/g}y la altitud máxima al alcance máximo esv2/(4gramo){\displaystyle v^{2}/(4g)}.

Derivación de la ecuación de movimiento

Supongamos que el movimiento del proyectil se mide desde un sistema de referencia de caída libre que se encuentra en ( x , y )  =  (0,0) en t = 0. La ecuación de movimiento del proyectil en este sistema de referencia (por el principio de equivalencia ) sería:   y=incógnitabroncearse⁡(θ){\displaystyle y=x\tan(\theta )}Las coordenadas de este sistema de referencia en caída libre, con respecto a nuestro sistema de referencia inercial, serían:y=−gramot2/2{\displaystyle y=-gt^{2}/2}. Eso es,y=−gramo(incógnita/vh)2/2{\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}.

Ahora, traduciendo de nuevo al sistema de referencia inercial, las coordenadas del proyectil se convierten en:y=incógnitabroncearse⁡(θ)−gramo(incógnita/vh)2/2{\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}Eso es:

y=−gramosegundo2⁡θ2v02incógnita2+incógnitabroncearse⁡θ,{\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}

(donde v 0 es la velocidad inicial,θ{\displaystyle \theta }es el ángulo de elevación y g es la aceleración debida a la gravedad).

Alcance y altura

Trayectorias de proyectiles lanzados con distintos ángulos de elevación pero a la misma velocidad de 10 m/s en el vacío y bajo un campo gravitatorio uniforme descendente de 10 m/s² . Los puntos se encuentran a intervalos de 0,05 s y la longitud de sus colas es directamente proporcional a su velocidad. t = tiempo desde el lanzamiento, T = tiempo de vuelo, R = alcance y H = punto más alto de la trayectoria (indicado con flechas).

El alcance , R , es la mayor distancia que recorre el objeto a lo largo del eje x en el sector I. La velocidad inicial , v i , es la rapidez con la que se lanza dicho objeto desde el punto de origen. El ángulo inicial , θ i , es el ángulo con el que se libera dicho objeto. g es la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto en un medio nulo.

R=vi2pecado⁡2θigramo{\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}

La altura , h , es la mayor altura parabólica que alcanza dicho objeto dentro de su trayectoria.

h=vi2pecado2⁡θi2gramo{\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}

Ángulo de elevación

Un ejemplo que muestra cómo calcular la trayectoria de una bala.

En términos de ángulo de elevaciónθ{\displaystyle \theta }y velocidad inicialv{\displaystyle v}:

vh=vporque⁡θ,vv=vpecado⁡θ{\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}

dando el rango como

R=2v2porque⁡(θ)pecado⁡(θ)/gramo=v2pecado⁡(2θ)/gramo.{\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}

Esta ecuación se puede reorganizar para hallar el ángulo para un rango requerido.

θ=12pecado−1⁡(gramoRv2){\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}(Ecuación II: ángulo de lanzamiento del proyectil)

Nótese que la función seno es tal que hay dos soluciones paraθ{\displaystyle \theta }para un rango determinadodh{\displaystyle d_{h}}El ánguloθ{\displaystyle \theta }El rango máximo se puede encontrar considerando la derivada oR{\displaystyle R}con respecto aθ{\displaystyle \theta }y poniéndolo a cero.

dRdθ=2v2gramoporque⁡(2θ)=0{\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}

que tiene una solución no trivial en2θ=π/2=90∘{\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}, oθ=45∘{\displaystyle \theta =45^{\circ }}El rango máximo es entoncesRmáximo=v2/gramo{\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}. En este ángulopecado⁡(π/2)=1{\displaystyle \sin(\pi /2)=1}, por lo que la altura máxima obtenida esv24gramo{\displaystyle {v^{2} \over 4g}}.

Para hallar el ángulo que proporciona la altura máxima para una velocidad dada, calcule la derivada de la altura máxima.H=v2pecado2⁡(θ)/(2gramo){\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}con respecto aθ{\displaystyle \theta }, eso es dHdθ=v22porque⁡(θ)pecado⁡(θ)/(2gramo){\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)} que es cero cuandoθ=π/2=90∘{\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}. Por lo tanto, la altura máximaHmetroaincógnita=v22gramo{\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}se obtiene cuando el proyectil se dispara verticalmente hacia arriba.

objetos en órbita

Si en lugar de una fuerza gravitatoria uniforme hacia abajo consideramos dos cuerpos orbitando con una gravitación mutua entre ellos, obtenemos las leyes de Kepler del movimiento planetario . La derivación de estas leyes fue uno de los trabajos más importantes de Isaac Newton y proporcionó gran parte de la motivación para el desarrollo del cálculo diferencial .

Atrapar pelotas

Si un proyectil, como una pelota de béisbol o de críquet, viaja en una trayectoria parabólica, con una resistencia del aire mínima, y ​​si un jugador se coloca de manera que pueda atraparlo mientras desciende, verá que su ángulo de elevación aumenta continuamente durante todo su vuelo. La tangente del ángulo de elevación es proporcional al tiempo transcurrido desde que la pelota fue lanzada al aire, generalmente al ser golpeada con un bate. Incluso cuando la pelota está descendiendo, cerca del final de su vuelo, su ángulo de elevación percibido por el jugador continúa aumentando. Por lo tanto, el jugador la ve como si estuviera ascendiendo verticalmente a velocidad constante. Encontrar el punto desde el cual la pelota parece elevarse de forma constante ayuda al jugador a posicionarse correctamente para atraparla. Si está demasiado cerca del bateador que ha golpeado la pelota, esta parecerá elevarse a una velocidad acelerada. Si está demasiado lejos del bateador, parecerá desacelerar rápidamente y luego descender.

Notas

  1. ↑ Teóricamente, una órbita puede ser una línea recta radial, un círculo o una parábola. Estos son casos límite cuya probabilidad de ocurrir en la realidad es nula.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Definición y significado de TRAYECTORIA" . Diccionario inglés Collins . 19 de enero de 2026. Consultado el 25 de enero de 2026 .
  2. ↑ Metha, Rohit. "11". Los principios de la física . pág. 378. 
  • Applet Flash de movimiento de proyectiles archivado el 14 de septiembre de 2008 en Wayback Machine :)
  • Calculadora de trayectorias
  • Una simulación interactiva sobre el movimiento de proyectiles.
  • Projectile Lab, simulador de trayectorias en JavaScript
  • Movimiento de proyectil parabólico: disparar un dardo tranquilizante inofensivo a un mono que cae por Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera y José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project .
  • Trayectoria , ScienceWorld.
  • Simulación de movimiento de proyectiles en Java, con resistencia del aire de primer orden. Archivada el 3 de julio de 2012 en la Wayback Machine.
  • Simulación de movimiento de proyectiles en Java; soluciones de puntería, parábola de seguridad.