Matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

En el Modelo Estándar de la física de partículas , la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa , matriz CKM , matriz de mezcla de quarks o matriz KM es una matriz unitaria que contiene información sobre la intensidad de la interacción débil que cambia el sabor . Técnicamente, especifica el desajuste de los estados cuánticos de los quarks cuando se propagan libremente y cuando participan en las interacciones débiles . Es importante para comprender la violación de CP . Esta matriz fue introducida para tres generaciones de quarks por Makoto Kobayashi y Toshihide Maskawa , añadiendo una generación a la matriz introducida previamente por Nicola Cabibbo . Esta matriz también es una extensión del mecanismo GIM , que solo incluye dos de las tres familias de quarks actuales.

Descripción

Predecesor: Matriz de Cabibbo

{\displaystyle |d\rangle ,\,|s\rangle } — El ángulo de Cabibbo representa la rotación del espacio vectorial de autoestados de masa formado por los autoestados de masa. $|d\rangle ,\,|s\rangle$ en el espacio vectorial de autoestados débiles formado por los autoestados débiles $|d'\rangle \,,~|\,s'\rangle ~.$ $θ$ _c = 13,02° .

En 1963, Nicola Cabibbo introdujo el ángulo de Cabibbo ( $θc$ ₎ para preservar la universalidad de la interacción débil . ^{[ 1 ]} Cabibbo se inspiró en trabajos previos de Murray Gell-Mann y Maurice Lévy, ^{[ 2 ]} sobre las corrientes débiles vectoriales y axiales no extrañas y extrañas efectivamente rotadas, a las que hace referencia. ^{[ 3 ]}

A la luz de los conceptos actuales (los quarks aún no se habían propuesto), el ángulo de Cabibbo está relacionado con la probabilidad relativa de que los quarks down y strange se desintegren en quarks up ( | $V$ _ud | ² y | $V$ _us | ² , respectivamente). En la terminología de la física de partículas, el objeto que se acopla al quark up mediante la interacción débil de corriente cargada es una superposición de quarks de tipo down, aquí denotada por $d'$ . ^{[ 4 ]} Matemáticamente esto es:

d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,

o utilizando el ángulo de Cabibbo:

d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.

Utilizando los valores actualmente aceptados para | $V$ _ud | y | $V$ _us | (ver más abajo), el ángulo de Cabibbo se puede calcular utilizando

\tan \theta _{\mathrm {c} }={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.

Cuando se descubrió el quark encanto en 1974, se observó que el quark down y el quark strange podían transformarse en el quark up o en el quark encanto, lo que dio lugar a dos conjuntos de ecuaciones:

d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,

s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;

o utilizando el ángulo de Cabibbo:

d'=~~~\cos {\theta _ {\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _ {\mathrm {c} }}\;s~,

s'=-\sin {\theta _ {\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _ {\mathrm {c} }}\;s~.

Esto también se puede escribir en notación matricial como:

{\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,

o utilizando el ángulo de Cabibbo

{\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,

donde los distintos | $V ij$ | ² representan la probabilidad de que el quark de sabor $j$ se desintegre en un quark de sabor $i$ . Esta matriz de rotación de 2×2 se denomina "matriz de Cabibbo" y posteriormente se amplió a la matriz CKM de 3×3.

Matriz CKM

En 1973, al observar que la violación de CP no podía explicarse en un modelo de cuatro quarks, Kobayashi y Maskawa generalizaron la matriz de Cabibbo en la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (o matriz CKM) para realizar un seguimiento de las desintegraciones débiles de tres generaciones de quarks: ^{[ 5 ]}

{\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_{\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.

A la izquierda se encuentran los pares doblete de interacción débil de los quarks de tipo down, y a la derecha la matriz CKM, junto con un vector de autoestados de masa de los quarks de tipo down. La matriz CKM describe la probabilidad de una transición de un quark de sabor $j a otro quark de sabor$ $i$ . Estas transiciones son proporcionales a | $V ij$ | ² .

A partir de 2023, la mejor determinación de las magnitudes individuales de los elementos de la matriz CKM fue: ^{[ 6 ]}

{\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.

Utilizando esos valores, se puede comprobar la unitariedad de la matriz CKM. En particular, encontramos que los elementos de la primera fila de la matriz dan: $|V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007$

haciendo que los resultados experimentales coincidan con el valor teórico de 1.

La elección de utilizar quarks de tipo abajo en la definición es una convención y no representa una asimetría físicamente preferida entre quarks de tipo arriba y de tipo abajo. Otras convenciones son igualmente válidas: los autoestados de masa $u$ , $c$ y $t$ de los quarks de tipo arriba pueden definir la matriz de forma equivalente en términos de sus compañeros de interacción débil $u'$ , $c'$ y $t'$ . Dado que la matriz CKM es unitaria, su inversa es la misma que su transpuesta conjugada , que es la que utilizan las opciones alternativas; aparece como la misma matriz, en una forma ligeramente alterada.

Construcción de casos generales

Para generalizar la matriz, cuente el número de parámetros físicamente importantes en esta matriz $V$ que aparecen en los experimentos. Si hay $N$ generaciones de quarks (2 $N$ sabores ), entonces

Una matriz unitaria $N$ × $N$ (es decir, una matriz $V$ tal que $V$ $†$ $V$ $=$ $I$ , donde $V$ $†$ es la transpuesta conjugada de $V$ e $I$ es la matriz identidad) requiere que se especifiquen $N$ ^{2 parámetros reales.}
2 $N$ − 1 de estos parámetros no son físicamente significativos, porque una fase puede ser absorbida en cada campo de quarks (tanto de los autoestados de masa como de los autoestados débiles), pero la matriz es independiente de una fase común. Por lo tanto, el número total de variables libres independientes de la elección de las fases de los vectores base es $N$ ² − (2 $N$ − 1) = ( $N$ − 1) ² .
- De estos, ⁠ 1 / 2 ⁠ $N$ ( $N$ − 1) son ángulos de rotación llamados ángulos de mezcla de quarks .
- Las restantes ⁠ 1 / 2 ⁠ ( $N$ − 1)( $N$ − 2) son fases complejas, que provocan una violación de CP .

$N$ = 2

Para el caso $N$ = 2, solo existe un parámetro: el ángulo de mezcla entre dos generaciones de quarks. Históricamente, esta fue la primera versión de la matriz CKM, cuando solo se conocían dos generaciones. Se denomina ángulo de Cabibbo en honor a su inventor, Nicola Cabibbo .

$N$ = 3

Para el caso del Modelo Estándar ( $N$ = 3), hay tres ángulos de mezcla y una fase compleja que viola CP. ^[⁷^]

Observaciones y predicciones

La idea de Cabibbo surgió de la necesidad de explicar dos fenómenos observados:

las transiciones $u \leftrightarrow d$ , $e \leftrightarrow ν$ $e$ y μ $\leftrightarrow ν$ $μ$ tenían amplitudes similares.
Las transiciones con cambio en extrañeza $ΔS = 1$ tuvieron amplitudes iguales a 1/4 de aquellas con $ΔS =$ 0 .

La solución de Cabibbo consistió en postular la universalidad débil (véase más abajo) para resolver el primer problema, junto con un ángulo de mezcla $θ c$ , ahora llamado ángulo de Cabibbo , entre los quarks $d$ y $s para resolver el segundo.$

Para dos generaciones de quarks, no puede haber fases de violación de CP, como se muestra en el conteo de la sección anterior. Dado que las violaciones de CP ya se habían observado en 1964, en las desintegraciones de kaones neutros , el Modelo Estándar que surgió poco después indicaba claramente la existencia de una tercera generación de quarks, como señalaron Kobayashi y Maskawa en 1973. Por lo tanto, el descubrimiento del quark fondo en Fermilab (por el grupo de Leon Lederman ) en 1976 dio inicio de inmediato a la búsqueda del quark cima , el quark de tercera generación que faltaba.

Cabe señalar, sin embargo, que los valores específicos que toman los ángulos no son una predicción del modelo estándar: son parámetros libres . Actualmente, no existe una teoría generalmente aceptada que explique por qué los ángulos deberían tener los valores que se miden en los experimentos.

Universalidad débil

Las restricciones de unitariedad de la matriz CKM en los términos diagonales se pueden escribir como

\sum _{k}|V_{jk}|^{2}=\sum _{k}|V_{kj}|^{2}=1

por separado para cada generación $j$ . Esto implica que la suma de todos los acoplamientos de cualquiera de los quarks de tipo up con todos los quarks de tipo down es la misma para todas las generaciones. Esta relación se denomina universalidad débil y fue señalada por primera vez por Nicola Cabibbo en 1967. Teóricamente, es consecuencia del hecho de que todos los dobletes SU(2) se acoplan con la misma intensidad a los bosones vectoriales de las interacciones débiles. Ha sido objeto de continuas pruebas experimentales.

Triángulos unitarios

Las restricciones restantes de unitariedad de la matriz CKM se pueden escribir de la forma

\sum _{k}V_{ik}V_{jk}^{*}=0~.

Para cualesquiera $i$ y $j$ fijos y distintos , esta es una restricción sobre tres números complejos, uno para cada $k$ , que indica que estos números forman los lados de un triángulo en el plano complejo . Hay seis opciones para $i$ y $j$ (tres independientes), y por lo tanto seis triángulos de este tipo, cada uno de los cuales se denomina triángulo unitario . Sus formas pueden ser muy diferentes, pero todos tienen la misma área, que puede relacionarse con la fase de violación de CP . El área se anula para los parámetros específicos del Modelo Estándar para los que no habría violación de CP . La orientación de los triángulos depende de las fases de los campos de quarks.

Una cantidad popular que equivale al doble del área del triángulo de unitariedad es el invariante de Jarlskog (introducido por Cecilia Jarlskog en 1985),

J=c_{12}c_{13}^{2}c_{23}s_{12}s_{13}s_{23}\sin \delta \approx 3\cdot 10^{-5}~.

Para los índices griegos que denotan quarks arriba y los latinos quarks abajo, el 4-tensor $\;(\alpha ,\beta ;i,j)\equiv \operatorname {Im} (V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^{*}V_{\beta i}^{*})\;$ es doblemente antisimétrico,

(\beta ,\alpha ;i,j)=-(\alpha ,\beta ;i,j)=(\alpha ,\beta ;j,i)~.

Hasta la antisimetría, solo tiene 9 = 3 × 3 componentes no nulas, que, sorprendentemente, a partir de la unitariedad de $V$ , se puede demostrar que son todas idénticas en magnitud , es decir,

(\alpha ,\beta ;i,j)=J~{\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{\alpha \beta }\otimes {\begin{bmatrix}\;~~0&\;~~1&-1\\-1&\;~~0&\;~~1\\\;~~1&-1&\;~~0\end{bmatrix}}_{ij}\;,

de modo que

J=(u,c;s,b)=(u,c;d,s)=(u,c;b,d)=(c,t;s,b)=(c,t;d,s)=(c,t;b,d)=(t,u;s,b)=(t,u;b,d)=(t,u;d,s)~.

Dado que los tres lados del triángulo son susceptibles de experimentación directa, al igual que sus tres ángulos, una clase de pruebas del Modelo Estándar consiste en verificar que el triángulo se cierra. Este es el propósito de una serie de experimentos modernos que se están llevando a cabo en los experimentos japoneses BELLE y estadounidenses BaBar , así como en el LHCb del CERN, en Suiza.

Parametrizaciones

Se requieren cuatro parámetros independientes para definir completamente la matriz CKM. Se han propuesto numerosas parametrizaciones, y a continuación se muestran tres de las más comunes.

Parámetros KM

La parametrización original de Kobayashi y Maskawa utilizó tres ángulos ( $θ₁$ _, $θ₂$ _, $θ₃$ ₎ y un ángulo de fase que viola CP ( _δ $)$ . ^[⁵^] $θ₁$ es el ángulo de Cabibbo. Para abreviar, los cosenos y senos de los ángulos $θk$ se denotan $ck$ y _sk $,$ para k = 1, 2, ₃_{respectivamente} .

{\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.

Parámetros CK "estándar"

Una parametrización "estándar" de Chau-Keung $[8] de la matriz CKM utiliza tres ángulos de Euler (θ12, θ23, θ13$ ^{) y una} fase de _violación de $CP$ ( $δ13$ ) _. [ $9$ _] θ12 ^es^el^ángulo $de$ Cabibbo. Esta es la convención defendida por el Particle Data Group . _Los acoplamientos entre las generaciones de quarks _j_y $k$ se $anulan$ si $θjk$ = 0. _{Los cosenos y}_senos de los ángulos se denotan $cjk$ y $sjk$ , respectivamente.

{\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Los valores de 2008 para los parámetros estándar fueron: ^{[ 10 ]}

θ

₁₂ =13,04° ± 0,05° ,

θ

₁₃ =0,201° ± 0,011° ,

θ

₂₃ =2,38° ± 0,06°

y

δ

₁₃ =1,20 ± 0,08 radianes =68,8° ± 4,5° .

Parámetros de Wolfenstein

Lincoln Wolfenstein introdujo una tercera parametrización de la matriz CKM con los cuatro parámetros reales $λ$ , $A$ , $ρ$ y $η$ , que se anularían (serían cero) si no hubiera acoplamiento. ^{[ 11 ]} Los cuatro parámetros de Wolfenstein tienen la propiedad de que todos son de orden 1 y están relacionados con la parametrización "estándar":

Aunque la parametrización de Wolfenstein de la matriz CKM puede ser tan exacta como se desee cuando se lleva a un orden alto, se utiliza principalmente para generar aproximaciones convenientes a la parametrización estándar. La aproximación al orden $λ$ ³ , con una precisión de buena a mejor que el 0,3 %, es:

{\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.

Las tasas de violación de CP corresponden al parámetro $η$ .

Utilizando los valores de la sección anterior para la matriz CKM, a partir de 2008 la mejor determinación de los valores de los parámetros de Wolfenstein es: ^{[ 6 ]}

λ

= 0,22500 ± 0,0067,

A

=

0,826 +0,018 −0,015 ,

ρ

= 0,159±0,010 y

η

= 0,348±0,010.

Premio Nobel

En 2008, Kobayashi y Maskawa compartieron la mitad del Premio Nobel de Física "por el descubrimiento del origen de la simetría rota que predice la existencia de al menos tres familias de quarks en la naturaleza". ^{[ 12 ]} Se informó que algunos físicos albergaban resentimiento por el hecho de que el comité del Premio Nobel no premiara el trabajo de Cabibbo , cuyo trabajo previo estaba estrechamente relacionado con el de Kobayashi y Maskawa. ^{[ 13 ]} Al preguntársele sobre su reacción al premio, Cabibbo prefirió no hacer comentarios. ^{[ 14 ]}

Véase también

Formulación del Modelo Estándar y violaciones de CP
Cromodinámica cuántica , sabor y problema de CP fuerte
Ángulo de Weinberg , un ángulo similar para Z y la mezcla de fotones.
Matriz de Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata , la matriz de mezcla equivalente para neutrinos.
Fórmula de Koide

Referencias

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Lecturas adicionales y enlaces externos

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