Subgrupo de punto fijo

En álgebra , el subgrupo de punto fijo${\displaystyle G^{f}}$de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$

De manera más general, si S es un conjunto de automorfismos de G (es decir, un subconjunto del grupo de automorfismos de G ), entonces el conjunto de los elementos de G que quedan fijos por cada automorfismo en S es un subgrupo de G , denotado por G ^S.

Por ejemplo, tomemos G como el grupo de matrices reales invertibles de n por n y${\displaystyle f(g)=(g^{T})^{-1}}$(llamada involución de Cartan ).${\displaystyle G^{f}}$es el grupo${\displaystyle O(n)}$de matrices ortogonales de n por n .

Para dar un ejemplo abstracto, sea S un subconjunto de un grupo G. Entonces, cada elemento s de S puede asociarse con el automorfismo.${\displaystyle g\mapsto sgs^{-1}}$, es decir, conjugación por s . Entonces

${\displaystyle G^{S}=\{g\in G\mid sgs^{-1}=g{\text{ para todo }}s\in S\}}$;

es decir, el centralizador de S.

• Anillo de invariantes