Código corrector de errores de cinco cúbits

El código de corrección de errores de cinco cúbits , [[ 5,1,3 ]] , o código de Laflamme-Miquel-Paz-Zurek ^{[ 1 ],} es el código de corrección de errores cuánticos más pequeño que puede proteger un cúbit lógico de cualquier error arbitrario de un solo cúbit. ^{[ 2 ]} En este código, se utilizan 5 cúbits físicos para codificar el cúbit lógico. ^{[ 3 ]} Con${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$siendo matrices de Pauli y${\displaystyle I}$la matriz identidad , los generadores de este código son${\displaystyle \langle XZZXI,IXZZX,XIXZZ,ZXIXZ\rangle }$Sus operadores lógicos son${\displaystyle {\bar {X}}=XXXXX}$y ${\displaystyle {\bar {Z}}=ZZZZZ}$[ ^{4 ]} Una vez codificado el cúbit lógico, los errores en los cúbits físicos pueden detectarse mediante mediciones del estabilizador. Una ^tabla de consulta que relaciona los resultados de las mediciones del estabilizador con los tipos y ubicaciones de los errores proporciona al sistema de control de la computadora cuántica información suficiente para corregirlos. ^{[ 5 ]}

El código original de corrección de errores cuánticos de Peter Shor de 1995 utilizaba nueve cúbits. El código de corrección de errores de cinco cúbits fue publicado independientemente por dos grupos en 1996: por Raymond Laflamme , Cesar Miquel, Juan Pablo Paz y Wojciech H. Zurek ^{[ 6 ]} y por Charles H. Bennett , David DiVincenzo , John A. Smolin y William Wootters ^{[ 7 ]} .

Las mediciones de estabilizador son mediciones de paridad que miden los estabilizadores de los cúbits físicos. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, para medir el primer estabilizador (${\displaystyle XZZXI}$), una medida de paridad de${\displaystyle X}$del primer cúbit,${\displaystyle Z}$en el segundo,${\displaystyle Z}$el tercero,${\displaystyle X}$el cuarto, y${\displaystyle I}$En el quinto caso se realiza la medición. Dado que hay cuatro estabilizadores, se utilizarán cuatro cúbits auxiliares para medirlos. Los primeros cuatro cúbits de la imagen superior son los cúbits auxiliares. Los bits resultantes de los cúbits auxiliares constituyen el síndrome, que codifica el tipo de error ocurrido y su ubicación.

Un cúbit lógico se puede medir en la base computacional realizando una medición de paridad en${\displaystyle {\bar {Z}}}$. Si el acilo medido es${\displaystyle 0}$, el cúbit lógico es${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$. Si el acilo medido es${\displaystyle 1}$, el cúbit lógico es${\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle }$. ^{[ 9 ]}

Es posible calcular todos los errores de un solo qubit que pueden ocurrir y cómo corregirlos. Esto se hace calculando qué errores conmutan con los estabilizadores. ^{[ 5 ]} Por ejemplo, si hay un${\displaystyle X}$error en el primer cúbit y ningún error en los demás (${\displaystyle X_{1}=XIII}$), conmuta con el primer estabilizador${\displaystyle [XIIII,XZZXI]=0}$Esto significa que si se produce un error X en el primer cúbit, el primer cúbit auxiliar será 0. El segundo cúbit auxiliar:${\displaystyle [XIIII,IXZZX]=0}$, el tercero:${\displaystyle [XIIII,XIXZZ]=0}$y el cuarto${\displaystyle [XIIII,ZXIXZ]\neq 0}$. Entonces, si ocurre un error X en el primer cúbit, el síndrome será${\displaystyle 0001}$; que se muestra en la tabla siguiente, a la derecha de${\displaystyle X_{1}}$Se realizan cálculos similares para todos los demás errores posibles para completar la tabla.

Para corregir un error, se realiza la misma operación en el cúbit físico en función de su síndrome. Si el síndrome es${\displaystyle 0001}$, un${\displaystyle X}$Se aplica una puerta lógica al primer cúbit para revertir el error.

El primer paso para ejecutar la computación cuántica con corrección de errores es codificar el estado inicial de la computadora transformando los cúbits físicos en palabras clave lógicas. Las palabras clave lógicas para el código de cinco cúbits son:

${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|00000\rangle +|10010\rangle +|01001\rangle +|10100\rangle +|01010\rangle -|11011\rangle -|00110\rangle -|11000\rangle \\-&|11101\rangle -|00011\rangle -|11110\rangle -|01111\rangle -|10001\rangle -|01100\rangle -|10111\rangle +|00101\rangle ],\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|1_{\rm {L}}\rangle ={\frac {1}{4}}[&|11111\rangle +|01101\rangle +|10110\rangle +|01011\rangle +|10101\rangle -|00100\rangle -|11001\rangle -|00111\rangle \\-&|00010\rangle -|11100\rangle -|00001\rangle -|10000\rangle -|01110\rangle -|10011\rangle -|01000\rangle +|11010\rangle ].\end{aligned}}}$

Mediciones del estabilizador seguidas de una${\displaystyle {\bar {Z}}}$La medición se puede utilizar para codificar un cúbit lógico en 5 cúbits físicos. ^{[ 10 ]} Para preparar${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$, realizar mediciones del estabilizador y aplicar corrección de errores. Después de la corrección de errores, se garantiza que el estado lógico sea una palabra clave lógica. Si el resultado de la medición${\displaystyle {\bar {Z}}}$es${\displaystyle 0}$, el estado lógico es${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$. Si el resultado es${\displaystyle 1}$, el estado lógico es${\displaystyle |1_{\rm {L}}\rangle }$y aplicar${\displaystyle {\bar {X}}}$lo transformará en${\displaystyle |0_{\rm {L}}\rangle }$.