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Articulo de referencia

Problema de representación de retículo finito

En matemáticas , el problema de representación de retículos finitos , o problema de retículos de congruencia finitos , pregunta si todo retículo finito es isomorfo al retículo d...

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En matemáticas , el problema de representación de retículos finitos , o problema de retículos de congruencia finitos , pregunta si todo retículo finito es isomorfo al retículo de congruencia de alguna álgebra finita .

Fondo

Un retículo se denomina algebraico si es completo y generado de forma compacta . En 1963, Grätzer y Schmidt demostraron que todo retículo algebraico es isomorfo al retículo de congruencia de alguna álgebra . [ 1 ] Por lo tanto, esencialmente no hay restricciones en la forma de un retículo de congruencia de un álgebra. El problema de la representación de retículos finitos plantea si lo mismo es cierto para retículos finitos y álgebras finitas. Es decir, ¿todo retículo finito aparece como el retículo de congruencia de un álgebra finita ?

En 1980, Pálfy y Pudlák demostraron que este problema es equivalente al problema de decidir si cada retículo finito aparece como un intervalo en el retículo de subgrupos de un grupo finito . [ 2 ] Para una visión general del enfoque de la teoría de grupos al problema, véase Pálfy (1993) [ 3 ] y Pálfy (2001). [ 4 ]

Este problema no debe confundirse con el problema de la red de congruencia .

Significado

Este es uno de los problemas sin resolver más antiguos del álgebra universal . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] Hasta que se resuelva, la teoría de las álgebras finitas está incompleta ya que, dado un álgebra finita, se desconoce si existen, a priori , restricciones sobre la forma de su retículo de congruencia.

Referencias

  1. ↑ G. Grätzer y ET Schmidt, Caracterizaciones de retículos de congruencia de álgebras abstractas , Acta Sci. Math. (Szeged) 24 (1963), 34–59.
  2. ↑ Pálfy y Pudlák. Retículos de congruencia de álgebras finitas e intervalos en retículos de subgrupos de grupos finitos. Algebra Universalis 11(1), 22–27 (1980). DOI
  3. ↑ Péter Pál Pálfy. Intervalos en retículos de subgrupos de grupos finitos. En Groups '93 Galway/St. Andrews, vol. 2, volumen 212 de London Math. Soc. Lecture Note Ser., páginas 482–494. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
  4. ↑ Péter Pál Pálfy. Grupos y retículos. En Grupos St. Andrews 2001 en Oxford. Vol. II, volumen 305 de London Math. Soc. Lecture Note Ser., páginas 428–454, Cambridge, 2003. Cambridge Univ. Press.
  5. ↑ Joel Berman. Retículos de congruencia de álgebras universales finitas. Tesis doctoral, Universidad de Washington, 1970, ProQuest 302550051 . 
  6. ↑ Bjarni Jónsson. Temas de álgebra universal . Lecture Notes in Mathematics, vol. 250. Springer Verlag, Berlín, 1972.
  7. ↑ Ralph McKenzie. Retículos prohibidos finitos. En: Álgebra universal y teoría de retículos (Puebla, 1982), Lecture Notes in Math., vol. 1004, pp. 176–205. Springer, Berlín (1983). DOI

Lecturas adicionales

  • DeMeo, William J (2012). "Retículos de congruencia de álgebras finitas". arXiv : 1204.4305 [ math.GR ].
  • Dowling, TA (febrero de 1973). "Una clase de retículos geométricos basados ​​en grupos finitos" . Journal of Combinatorial Theory, Serie B. 14 ( 1): 61– 86. doi : 10.1016/S0095-8956(73)80007-3 .
  • Problema de retículo de congruencia finita