Transformación de Legendre finita

La transformada finita de Legendre (fLT) transforma una función matemática definida en el intervalo finito en su espectro de Legendre . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Por el contrario, la fLT inversa (ifLT) reconstruye la función original a partir de los componentes del espectro de Legendre y los polinomios de Legendre , que son ortogonales en el intervalo [−1,1]. Específicamente, supongamos que una función x ( t ) está definida en un intervalo [−1,1] y se discretiza en N puntos equidistantes en este intervalo. La fLT entonces produce la descomposición de x ( t ) en sus componentes espectrales de Legendre,

${\displaystyle L_{x}(k)={\frac {2k+1}{N}}\sum _{t=-1}^{t=1}x(t)P_{k}(t),}$

donde el factor (2 k  +  1)/ N sirve como factor de normalización y L _x ( k ) da la contribución del k -ésimo polinomio de Legendre a x ( t ) tal que (siLT)

${\displaystyle x(t)=\sum _{k}L_{x}(k)P_{k}(t).}$

La fLT no debe confundirse con la transformada de Legendre o la transformación de Legendre utilizadas en termodinámica y física cuántica.

La transformada de Fourier de Fourier (fLT) de un resultado experimental ruidoso s ( t ) y la posterior aplicación de la fLT inversa (ifLT) a un espectro de Legendre truncado adecuadamente de s ( t ) produce una versión suavizada de s ( t ). La fLT y la ifLT incompleta actúan, por lo tanto, como un filtro. A diferencia del filtro paso bajo de Fourier común , que transmite los armónicos de baja frecuencia y filtra los de alta frecuencia, el filtro paso bajo de Legendre transmite los componentes de la señal proporcionales a polinomios de Legendre de bajo grado, mientras que los componentes de la señal proporcionales a polinomios de Legendre de mayor grado se filtran. ^{[ 3 ]}

• Butzer, Paul L. (1983). "Métodos de transformación de Legendre en la solución de problemas básicos en aproximación algebraica". Funciones, series, operadores, Actas de la Conferencia Internacional, Budapest 1980, Vol. I. Coloquio de la Sociedad Matemática János Bolyai. Vol.  35. págs. 277–301 . Zbl 0567.41010 .