Juego finito

En teoría de juegos , un juego finito (a veces llamado juego fundado ^{[ 1 ]} o juego bien fundado ^{[ 2 ]} ) es un juego de dos jugadores que tiene garantizado terminar después de un número finito de movimientos. Los juegos finitos pueden tener un número infinito de posibilidades o incluso un número ilimitado de movimientos, siempre que se garantice que terminen en un número finito de turnos. ^{[ 3 ]}

William Zwicker definió un juego, G , como totalmente finito si cumplía las siguientes cinco condiciones: ^{[ 4 ]}

1. Dos jugadores, I y II , se mueven alternativamente, yo comienza primero. Cada uno conoce perfectamente los movimientos del otro.
2. No hay ningún factor de azar.
3. No hay empates (cuando se completa una jugada de G , hay un solo ganador).
4. Cada partida termina después de un número finito de movimientos.
5. En cualquier momento de una partida de G , existen un número finito de posibilidades legales para el siguiente movimiento.

• Tres en raya
• Ajedrez ^{[ 5 ]}
• Damas
• Póker
• El juego en el que el jugador uno elige cualquier número y gana inmediatamente (este es un ejemplo de un juego finito con infinitas posibilidades) ^{[ 3 ]}
• El juego en el que el jugador uno nombra cualquier número N, luego pasan N movimientos sin que ocurra nada antes de que el jugador uno gane (este es un ejemplo de un juego finito con un número ilimitado de movimientos) ^{[ 3 ]}

Un superjuego es una variante del juego finito inventado por William Zwicker. Zwicker definió un superjuego con las siguientes reglas:

"En el primer movimiento, nombro cualquier juego totalmente finito G (llamado subjuego). Los jugadores proceden entonces a jugar G , con II desempeñando el papel de I mientras se juega G. El ganador del subjuego es declarado ganador del superjuego." ^{[ 4 ]}

Zwicker señala que un superjuego satisface las propiedades 1 a 4 de un juego totalmente finito, pero no la propiedad 5. Define los juegos de este tipo como parcialmente finitos. ^{[ 4 ]}

Un hiperjuego tiene las mismas reglas que un superjuego, excepto que puedo nombrar cualquier juego más o menos finito en el primer movimiento. El hiperjuego está estrechamente relacionado con la "paradoja del hiperjuego", una paradoja autorreferencial de la teoría de conjuntos, como la paradoja de Russell y la paradoja de Cantor . ^{[ 2 ]}

La paradoja del hiperjuego surge al intentar responder a la pregunta "¿Es un hiperjuego algo finito?". La paradoja, como señala Zwicker, satisface las condiciones 1 a 4, lo que lo hace algo finito de la misma manera que lo era un superjuego. ^{[ 2 ]} Sin embargo, si el hiperjuego es un juego algo finito, entonces el juego puede continuar infinitamente con ambos jugadores eligiendo el hiperjuego como su subjuego para siempre. Este infinito parecería violar la propiedad 4, lo que haría que el hiperjuego no fuera algo finito. De ahí la paradoja. ^{[ 1 ]}