Polinomios de Fibonacci

En matemáticas , los polinomios de Fibonacci son una sucesión polinómica que puede considerarse una generalización de los números de Fibonacci . Los polinomios generados de forma similar a partir de los números de Lucas se denominan polinomios de Lucas .

Estos polinomios de Fibonacci se definen mediante una relación de recurrencia : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\\1,&{\mbox{si }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2\end{cases}}}$

Los polinomios de Lucas utilizan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}}$

Se pueden definir para índices negativos mediante ^{[ 3 ].}

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),}$

${\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$

Los polinomios de Fibonacci forman una secuencia de polinomios ortogonales con${\displaystyle A_{n}=C_{n}=1}$y${\displaystyle B_{n}=0}$.

Los primeros polinomios de Fibonacci son:

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

Los primeros polinomios de Lucas son:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$

• El grado de F _n es n − 1 y el grado de L _n es n .  

• Los números de Fibonacci y Lucas se recuperan evaluando los polinomios en x  =  1; los números de Pell se recuperan evaluando F _n en x  =  2.

• Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son: ^{[ 4 ]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$

• Los polinomios pueden expresarse en términos de secuencias de Lucas como

  ${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$

• También pueden expresarse en términos de polinomios de Chebyshev.${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(x)}$y${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}(x)}$como

  ${\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

dónde${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria .

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades, como ^{[ 3 ].}

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{mn}(x)\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$

Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet, son: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$

dónde

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$

son las soluciones (en t ) de

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$

Para los polinomios de Lucas n > 0, tenemos

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{nk}}{\binom {nk}{k}}x^{n-2k}.}$

Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por ^{[ 5 ].}

${\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}$

Por ejemplo,

${\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,}$

${\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}$

Si F ( n , k ) es el coeficiente de x ^k en F _n ( x ), es decir

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$

Entonces F ( n , k ) es el número de maneras en que un rectángulo de n −1 por 1 puede ser cubierto con dominós de 2 por 1 y cuadrados de 1 por 1 de manera que se utilicen exactamente k cuadrados. ^{[ 1 ]} Equivalentemente, F ( n , k ) es el número de maneras de escribir n −1 como una suma ordenada que involucre solo 1 y 2, de manera que 1 se use exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3)=4 y 5 se puede escribir de 4 maneras, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, como una suma que involucre solo 1 y 2 con 1 usado 3 veces. Al contar el número de veces que 1 y 2 se usan en dicha suma, es evidente que ${\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}}$

Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal, como se muestra a la derecha.

• Benjamin, Arthur T.; Quinn , Jennifer J. (2003). «Fibonacci y polinomio de Lucas». Pruebas que realmente importan: El arte de la demostración combinatoria . Dolciani Mathematical Expositions. Vol.  27. Mathematical Association of America . p. 141. ISBN  978-0-88385-333-7.
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Polinomios de Fibonacci" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Philippou, Andreas N. (2001) [1994], "Polinomios de Lucas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Lucas" . MundoMatemático .
• Jin, Z. Sobre los polinomios de Lucas y algunas de sus nuevas identidades. Advances in Differential Equations 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9

• Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). "Raíces de los polinomios de Fibonacci". Fibonacci Quarterly . 11 : 271–274 . ISSN 0015-0517 . MR 0332645 .  
• Hoggatt, VE; Long, Calvin T. (1974). "Propiedades de divisibilidad de los polinomios de Fibonacci generalizados". Fibonacci Quarterly . 12 : 113. MR 0352034 . 
• Ricci, Paolo Emilio (1995). "Polinomios de Lucas generalizados y polinomios de Fibonacci". Rivista di Matematica della Università di Parma . V. Ser. 4 : 137–146 . SEÑOR 1395332 . 
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Algunas identidades que involucran los polinomios de Fibonacci". Fibonacci Quarterly . 40 (4): 314. MR 1920571 . 
• Cigler, Johann (2003). "Polinomios q-Fibonacci". Fibonacci Quarterly (41): 31– 40. MR 1962279 . 

• Secuencia OEIS A162515 (Triángulo de coeficientes de polinomios definido por la forma de Binet)
• Secuencia OEIS A011973 (Triángulo de coeficientes de polinomios de Fibonacci)