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Función de Feigenbaum

En el estudio de sistemas dinámicos, el término función de Feigenbaum se ha utilizado para describir dos funciones diferentes introducidas por el físico Mitchell Feigenbaum : [ ...

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En el estudio de sistemas dinámicos, el término función de Feigenbaum se ha utilizado para describir dos funciones diferentes introducidas por el físico Mitchell Feigenbaum : [ 1 ]

Idea

Ruta de duplicación de período hacia el caos

En el mapa logístico,

tenemos una funciónFr(incógnita)=rincógnita(1−incógnita){\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}y queremos estudiar qué sucede cuando iteramos el mapa muchas veces. El mapa podría caer en un punto fijo , un ciclo fijo o el caos. Cuando el mapa cae en un ciclo fijo estable de longitudnorte{\displaystyle n}, encontraríamos que la gráfica deFrnorte{\displaystyle f_{r}^{n}}y el gráfico deincógnita↦incógnita{\displaystyle x\mapsto x}se cruza ennorte{\displaystyle n}puntos y la pendiente de la gráfica deFrnorte{\displaystyle f_{r}^{n}}está delimitado en(−1,+1){\displaystyle (-1,+1)}en esas intersecciones.

Por ejemplo, cuandor=3.0{\displaystyle r=3.0}, tenemos una única intersección, con pendiente limitada en(−1,+1){\displaystyle (-1,+1)}, lo que indica que se trata de un único punto fijo estable.

Comor{\displaystyle r}aumenta a más allár=3.0{\displaystyle r=3.0}, el punto de intersección se divide en dos, lo que es una duplicación de período. Por ejemplo, cuandor=3.4{\displaystyle r=3.4}Hay tres puntos de intersección, siendo el del medio inestable y los otros dos estables.

Comor{\displaystyle r}aprochesr=3.45{\displaystyle r=3.45}, se produce otra duplicación de período de la misma manera. Las duplicaciones de período ocurren cada vez con mayor frecuencia, hasta que en cierto puntor≈3.56994567{\displaystyle r\approx 3.56994567}Las duplicaciones de período se vuelven infinitas y el mapa se vuelve caótico. Esta es la ruta de duplicación de período hacia el caos .

Relación entreincógnitanorte+2{\displaystyle x_{n+2}}yincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}cuandoa=2.7{\displaystyle a=2.7}Antes de que ocurra la bifurcación de duplicación de período, la órbita converge al punto fijo.incógnitaF2{\displaystyle x_{f2}}.
Relación entreincógnitanorte+2{\displaystyle x_{n+2}}yincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}cuandoa=3{\displaystyle a=3}La pendiente tangente en el punto fijoincógnitaF2{\displaystyle x_{f2}}. es exactamente 1, y se produce una bifurcación de duplicación de período.
Relación entreincógnitanorte+2{\displaystyle x_{n+2}}yincógnitanorte{\displaystyle x_{n}}cuandoa=3.3{\displaystyle a=3.3}El punto fijoincógnitaF2{\displaystyle x_{f2}}se vuelve inestable, dividiéndose en un ciclo estable periódico-2.
Cuandor=3.0{\displaystyle r=3.0}, tenemos una única intersección, con pendiente exactamente+1{\displaystyle +1}, lo que indica que está a punto de experimentar una duplicación de período.
Cuandor=3.4{\displaystyle r=3.4}Hay tres puntos de intersección, siendo el del medio inestable y los otros dos estables.
Cuandor=3.45{\displaystyle r=3.45}, hay tres puntos de intersección, siendo el del medio inestable y los otros dos con pendiente exactamente+1{\displaystyle +1}, lo que indica que está a punto de experimentar otra duplicación de período.
Cuandor≈3.56994567{\displaystyle r\approx 3.56994567}, hay infinitas intersecciones, y hemos llegado al caos a través de la ruta de duplicación de período .

Límite de escala

Aproximación al límite de escala comor{\displaystyle r}aprochesr∗=3.5699⋯{\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }desde abajo.
En el punto del caosr∗=3.5699⋯{\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }, mientras repetimos las duplicaciones de períodoFr∗1,Fr∗2,Fr∗4,Fr∗8,Fr∗16,…{\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }Los gráficos parecen asemejarse entre sí, excepto que están encogidos hacia el centro y rotados 180 grados, convergiendo en un fractal.

Al observar las imágenes, se puede notar que en el punto del caosr∗=3.5699⋯{\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }, la curva deFr∗∞{\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}parece un fractal. Además, a medida que repetimos las duplicaciones de períodoFr∗1,Fr∗2,Fr∗4,Fr∗8,Fr∗16,…{\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }Los gráficos parecen similares entre sí, excepto que están reducidos hacia el centro y rotados 180 grados.

Esto nos sugiere un límite de escala: si duplicamos repetidamente la función, entonces debemos escalarla porα{\displaystyle \alpha }para una cierta constanteα{\displaystyle \alpha }:F(incógnita)↦−αF(F(−incógnita/α)){\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}entonces, en el límite, terminaríamos con una funcióngramo{\displaystyle g}que satisfacegramo(incógnita)=−αgramo(gramo(−incógnita/α)){\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}Además, a medida que los intervalos de duplicación de período se vuelven cada vez más cortos, la relación entre dos intervalos de duplicación de período converge a un límite, la primera constante de Feigenbaum.δ=4.6692016⋯{\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }.

Para valores incorrectos del factor de escalaα{\displaystyle \alpha }, el mapa no converge a un límite, pero cuandoα=2.5029…{\displaystyle \alpha =2.5029\dots }, converge.
En el punto del caosr∗=3.5699⋯{\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }, mientras repetimos la iteración de la ecuación funcionalF(incógnita)↦−αF(F(−incógnita/α)){\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}conα=2.5029…{\displaystyle \alpha =2.5029\dots }, encontramos que el mapa sí converge a un límite.

La constanteα{\displaystyle \alpha }se puede encontrar numéricamente probando muchos valores posibles. Para los valores incorrectos, el mapa no converge a un límite, pero cuando esα=2.5029…{\displaystyle \alpha =2.5029\dots }, converge. Esta es la segunda constante de Feigenbaum.

Régimen caótico

En el régimen caótico,Fr∞{\displaystyle f_{r}^{\infty }}, el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas.

En el régimen caótico,Fr∞{\displaystyle f_{r}^{\infty }}, el límite de las iteraciones del mapa, se convierte en bandas oscuras caóticas intercaladas con bandas brillantes no caóticas.

Otros límites de escala

Cuandor{\displaystyle r}aprochesr≈3.8494344{\displaystyle r\approx 3.8494344}, tenemos otro enfoque de duplicación de período para el caos, pero esta vez con períodos 3, 6, 12, ... Esto nuevamente tiene las mismas constantes de Feigenbaumδ,α{\displaystyle \delta ,\alpha }. El límite deF(incógnita)↦−αF(F(−incógnita/α)){\textstyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}También es la misma función. Este es un ejemplo de universalidad .

Mapa logístico que se aproxima al límite de escalamiento del caos de duplicación de período.r∗=3.84943…{\displaystyle r^{*}=3.84943\dots }desde abajo. En el límite, esto tiene la misma forma que la der∗=3.5699⋯{\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }, puesto que todas las rutas de duplicación de período hacia el caos son las mismas (universalidad).

También podemos considerar la ruta de triplicación de períodos hacia el caos eligiendo una secuencia der1,r2,…{\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }de tal manera quernorte{\displaystyle r_{n}}es el valor más bajo del período-3norte{\displaystyle 3^{n}}ventana del diagrama de bifurcación . Por ejemplo, tenemosr1=3.8284,r2=3.85361,…{\displaystyle r_{1}=3.8284,r_{2}=3.85361,\dots }, con el límiter∞=3.854077963…{\displaystyle r_{\infty }=3.854077963\dots }. Este tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum.δ=55.26…,α=9.277…{\displaystyle \delta =55.26\dots ,\alpha =9.277\dots }. [ 2 ] YFr∞{\displaystyle f_{r}^{\infty }}converge al punto fijo aF(incógnita)↦−αF(F(F(−incógnita/α))){\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(f(-x/\alpha )))}Como otro ejemplo, period-4-pling tiene un par de constantes de Feigenbaum distintas de las de period-doubling, aunque period-4-pling se alcanza mediante dos duplicaciones de periodo. En detalle, definar1,r2,…{\displaystyle r_{1},r_{2},\dots }de tal manera quernorte{\displaystyle r_{n}}es el valor más bajo del período-4norte{\displaystyle 4^{n}}ventana del diagrama de bifurcación. Entonces tenemosr1=3.960102,r2=3.9615554,…{\displaystyle r_{1}=3.960102,r_{2}=3.9615554,\dots }, con el límiter∞=3.96155658717…{\displaystyle r_{\infty }=3.96155658717\dots }. Este tiene un par diferente de constantes de Feigenbaum.δ=981.6…,α=38,82…{\displaystyle \delta =981.6\dots ,\alpha =38.82\dots }.

En general, cada ruta de multiplicación de periodo hacia el caos tiene su propio par de constantes de Feigenbaum. De hecho, normalmente hay más de una. Por ejemplo, para el proceso de multiplicación de periodo 7, existen al menos 9 pares diferentes de constantes de Feigenbaum. [ 2 ]

Generalmente,3δ≈2α2{\textstyle 3\delta \approx 2\alpha ^{2}}y la relación se vuelve exacta a medida que ambos números aumentan hasta el infinito:límiteδ/α2=2/3{\displaystyle \lim \delta /\alpha ^{2}=2/3}.

ecuación funcional de Feigenbaum-Cvitanović

Esta ecuación funcional surge en el estudio de mapas unidimensionales que, en función de un parámetro, experimentan una cascada de duplicación de período. Descubierta por Mitchell Feigenbaum y Predrag Cvitanović , [ 3 ] la ecuación es la expresión matemática de la universalidad de la duplicación de período. Especifica una función g y un parámetro α mediante la relación

gramo(incógnita)=−αgramo(gramo(−incógnita/α)){\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}

con las condiciones iniciales{gramo(0)=1,gramo′(0)=0,gramo″(0)<0.{\displaystyle {\begin{cases}g(0)=1,\\g'(0)=0,\\g''(0)<0.\end{cases}}}Para una forma particular de solución con una dependencia cuadrática de la solución cerca de x = 0, α = 2,5029... es una de las constantes de Feigenbaum .

La serie de poder degramo{\displaystyle g}es aproximadamente [ 4 ]gramo(incógnita)=1−1.52763incógnita2+0,104815incógnita4+0,026705incógnita6+O(incógnita8){\displaystyle g(x)=1-1.52763x^{2}+0.104815x^{4}+0.026705x^{6}+O(x^{8})}

Renormalización

La función de Feigenbaum se puede derivar mediante un argumento de renormalización . [ 5 ]

La función de Feigenbaum satisface [ 6 ]gramo(incógnita)=límitenorte→∞1F(2norte)(0)F(2norte)(incógnitaF(2norte)(0)){\displaystyle g(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{F^{\left(2^{n}\right)}(0)}}F^{\left(2^{n}\right)}\left(xF^{\left(2^{n}\right)}(0)\right)}para cualquier mapa en la línea realF{\displaystyle F}al comienzo del caos.

Función de escala

La función de escala de Feigenbaum proporciona una descripción completa del atractor del mapa logístico al final de la cascada de duplicación de periodo. El atractor es un conjunto de Cantor y, al igual que el conjunto de Cantor del tercio medio, puede cubrirse con un conjunto finito de segmentos, todos mayores que un tamaño mínimo d n . Para un d n fijo, el conjunto de segmentos forma una cobertura Δ n del atractor. La razón de los segmentos de dos coberturas consecutivas, Δ n y Δ n +1, puede aproximarse a una función σ , la función de escala de Feigenbaum.

Véase también

Notas

  1. ↑ Feigenbaum, MJ (1976) "Universalidad en la dinámica discreta compleja", Informe anual de la División Teórica de Los Alamos 1975-1976
  2. 1 2 Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1985-01-01). "Dependencia de las constantes universales del período de multiplicación en mapas no lineales" . Physical Review A. 31 ( 1): 514– 516. Bibcode : 1985PhRvA..31..514D . doi : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN 0556-2791 . PMID 9895509 .  
  3. ↑ La nota a pie de página en la página 46 de Feigenbaum (1978) afirma: "Esta ecuación exacta fue descubierta por P. Cvitanović durante una discusión y en colaboración con el autor".
  4. ↑ Iii, Oscar E. Lanford (mayo de 1982). "Una demostración asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum" . Boletín (Nueva Serie) de la Sociedad Matemática Americana . 6 (3): 427– 434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . ISSN 0273-0979 . 
  5. ↑ Feldman, David P. (2019). Caos y sistemas dinámicos . Princeton. ISBN 978-0-691-18939-0OCLC 1103440222 .​ {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  6. ↑ Weisstein, Eric W. "Función de Feigenbaum" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de mayo de 2023 .

Bibliografía

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