Confusión de lo inverso

La confusión de la inversa , también llamada falacia de probabilidad condicional o falacia inversa , es una falacia lógica en la que se equipara una probabilidad condicional con su inversa; es decir, dados dos eventos A y B , se asume que la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B es aproximadamente la misma que la probabilidad de que ocurra B dado A , cuando en realidad no hay evidencia para esta suposición. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Más formalmente, se asume que P ( A | B ) es aproximadamente igual a P ( B | A ).

Ejemplos

Ejemplo 1

En un estudio, se pidió a los médicos que indicaran las probabilidades de malignidad con una probabilidad previa de ocurrencia del 1%. Una prueba puede detectar el 80% de las malignidades y tiene una tasa de falsos positivos del 10%. ¿Cuál es la probabilidad de malignidad dado un resultado positivo en la prueba? ^{[ 3 ]} Aproximadamente 95 de cada 100 médicos respondieron que la probabilidad de malignidad sería de alrededor del 75%, aparentemente porque los médicos creían que las probabilidades de malignidad dado un resultado positivo en la prueba eran aproximadamente las mismas que las probabilidades de un resultado positivo en la prueba dado que existía malignidad. ^{[ 4 ]}

La probabilidad correcta de malignidad dado un resultado positivo en la prueba, como se indicó anteriormente, es del 7,5%, derivada mediante el teorema de Bayes :

{\begin{aligned}&{}\qquad P({\text{maligno}}|{\text{positivo}})\\[8pt]&={\frac {P({\text{positivo}}|{\text{maligno}})P({\text{maligno}})}{P({\text{positivo}}|{\text{maligno}})P({\text{maligno}})+P({\text{positivo}}|{\text{benigno}})P({\text{benigno}})}}\\[8pt]&={\frac {(0.80\cdot 0.01)}{(0.80\cdot 0.01)+(0.10\cdot 0.99)}}=0.075\end{aligned}}

Otros ejemplos de confusión incluyen:

Los consumidores de drogas duras tienden a consumir marihuana ; por lo tanto, los consumidores de marihuana tienden a consumir drogas duras (la primera probabilidad es el consumo de marihuana dado el consumo de drogas duras, la segunda es el consumo de drogas duras dado el consumo de marihuana). ^{[ 5 ]}
La mayoría de los accidentes ocurren a menos de 25 millas de casa; por lo tanto, estás más seguro cuando estás lejos de casa. ^{[ 5 ]}
Los terroristas suelen tener formación en ingeniería; por lo tanto, los ingenieros tienen una tendencia hacia el terrorismo. ^{[ 6 ]}

Para otros errores en probabilidad condicional, véase el problema de Monty Hall y la falacia de la tasa base . Compárese con la conversión ilícita .

Ejemplo 2

Para identificar a personas con una enfermedad grave en una fase temprana y curable, se podría considerar realizar pruebas de detección a un gran grupo de personas. Si bien los beneficios son evidentes, un argumento en contra de estas pruebas es la preocupación que generan los resultados falsos positivos: si una persona que no padece la enfermedad recibe un diagnóstico erróneo en la prueba inicial, probablemente se sentirá angustiada, e incluso si posteriormente se somete a una prueba más exhaustiva y se le confirma que está sana, su vida aún podría verse afectada negativamente. Si se somete a un tratamiento innecesario, podría sufrir los efectos secundarios y los costos del mismo.

La magnitud de este problema se comprende mejor en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos que el 1% del grupo padece la enfermedad y el resto está sano. Eligiendo un individuo al azar,

P({\text{enfermo}})=1\%=0.01{\text{ y }}P({\text{bien}})=99\%=0.99.

Supongamos que cuando se aplica la prueba de detección a una persona que no tiene la enfermedad, hay un 1% de probabilidad de obtener un resultado falso positivo (y por lo tanto un 99% de probabilidad de obtener un resultado verdadero negativo, un número conocido como la especificidad de la prueba), es decir

P({\text{positivo}}|{\text{bien}})=1\%,{\text{ y }}P({\text{negativo}}|{\text{bien}})=99\%.

Finalmente, supongamos que cuando la prueba se aplica a una persona que tiene la enfermedad, hay un 1% de probabilidad de un resultado falso negativo (y un 99% de probabilidad de obtener un resultado verdadero positivo, conocido como la sensibilidad de la prueba), es decir

P({\text{negativo}}|{\text{enfermo}})=1\%{\text{ y }}P({\text{positivo}}|{\text{enfermo}})=99\%.

Cálculos

La fracción de individuos en todo el grupo que están bien y dan negativo en la prueba (verdaderos negativos):

P({\text{well}}\cap {\text{negative}})=P({\text{well}})\times P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%\times 99\%=98.01\%.

La fracción de individuos en todo el grupo que están enfermos y dan positivo en la prueba (verdaderos positivos):

P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})=P({\text{ill}})\times P({\text{positive}}|{\text{ill}})=1\%\times 99\%=0.99\%.

La fracción de individuos en todo el grupo que obtienen resultados falsos positivos:

P({\text{well}}\cap {\text{positive}})=P({\text{well}})\times P({\text{positive}}|{\text{well}})=99\%\times 1\%=0.99\%.

La fracción de individuos en todo el grupo que obtienen resultados falsos negativos:

P({\text{ill}}\cap {\text{negative}})=P({\text{ill}})\times P({\text{negative}}|{\text{ill}})=1\%\times 1\%=0.01\%.

Además, la fracción de individuos en todo el grupo que dan positivo en la prueba:

{\begin{aligned}P({\text{positive}})&{}=P({\text{well }}\cap {\text{ positive}})+P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})\\&{}=0.99\%+0.99\%=1.98\%.\end{aligned}}

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado que el resultado de la prueba es positivo:

P({\text{ill}}|{\text{positive}})={\frac {P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})}{P({\text{positive}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%.

Conclusión

En este ejemplo, resulta sencillo relacionar la diferencia entre las probabilidades condicionales P (positivo | enfermo), que con las probabilidades supuestas es del 99 %, y P (enfermo | positivo), que es del 50 %: la primera es la probabilidad de que un individuo que padece la enfermedad dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo realmente padezca la enfermedad. Por lo tanto, con las probabilidades elegidas en este ejemplo, aproximadamente el mismo número de personas se beneficia del tratamiento precoz que las que se ven afectadas por los falsos positivos; estos efectos positivos y negativos pueden tenerse en cuenta al decidir si se realiza la prueba de detección o, si es posible, si se ajustan los criterios de la prueba para disminuir el número de falsos positivos (posiblemente a costa de un mayor número de falsos negativos).

Véase también

Referencias

↑ Plous, Scott (1993). La psicología del juicio y la toma de decisiones . McGraw-Hill Education. págs. 131–134 . ISBN 978-0-07-050477-6.
↑ Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). "La falacia inversa: Un análisis de las desviaciones del teorema de Bayes y del principio de aditividad" . Memory & Cognition . 30 (5): 171– 178. doi : 10.3758/BF03195278 . PMID 12035879 .
↑ Eddy, David M. (1982). «Razonamiento probabilístico en medicina clínica: problemas y oportunidades». En Kahneman, D .; Slovic, P .; Tversky, A. (eds.). Juicio bajo incertidumbre: heurísticas y sesgos . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 249–267 . ISBN 0-521-24064-6.Descripción simplificada como en Plous (1993) .
↑ Eddy (1982 , p. 253) . "Desafortunadamente, la mayoría de los médicos (aproximadamente 95 de cada 100 en una muestra informal tomada por el autor) malinterpretan las afirmaciones sobre la precisión de la prueba y estiman que P(ca|pos) es de alrededor del 75 %."
1 2 Hastie, Reid ; Robyn Dawes (2001). Elección racional en un mundo incierto . págs. 122–123 . ISBN 978-0-7619-2275-9.
↑ ver "¿Los ingenieros son buenos terroristas?" . Slashdot . 3 de abril de 2008 . Consultado el 25 de abril de 2008 .

[1] Plous, Scott (1993). La psicología del juicio y la toma de decisiones . McGraw-Hill Education. págs. 131–134 . ISBN 978-0-07-050477-6.

[2] Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). "La falacia inversa: Un análisis de las desviaciones del teorema de Bayes y del principio de aditividad" . Memory & Cognition . 30 (5): 171– 178. doi : 10.3758/BF03195278 . PMID 12035879 .

[3] Eddy, David M. (1982). «Razonamiento probabilístico en medicina clínica: problemas y oportunidades». En Kahneman, D .; Slovic, P .; Tversky, A. (eds.). Juicio bajo incertidumbre: heurísticas y sesgos . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 249–267 . ISBN 0-521-24064-6.Descripción simplificada como en Plous (1993) .

[4] Eddy (1982 , p. 253) . "Desafortunadamente, la mayoría de los médicos (aproximadamente 95 de cada 100 en una muestra informal tomada por el autor) malinterpretan las afirmaciones sobre la precisión de la prueba y estiman que P(ca|pos) es de alrededor del 75 %."

[HD-5] 1 2 Hastie, Reid ; Robyn Dawes (2001). Elección racional en un mundo incierto . págs. 122–123 . ISBN 978-0-7619-2275-9.

[6] ver "¿Los ingenieros son buenos terroristas?" . Slashdot . 3 de abril de 2008 . Consultado el 25 de abril de 2008 .

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