Sistema de factorización

En matemáticas , se puede demostrar que toda función puede escribirse como la composición de una función sobreyectiva seguida de una función inyectiva . Los sistemas de factorización son una generalización de esta situación en la teoría de categorías .

Un sistema de factorización ( E , M ) para una categoría C consta de dos clases de morfismos E y M de C tales que:

1. Tanto E como M contienen todos los isomorfismos de C y son cerrados bajo composición.
2. Cada morfismo f de C puede factorizarse como${\displaystyle f=m\circ e}$para algunos morfismos${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle m\in M}$.
3. La factorización es funtorial : si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$son dos morfismos tales que${\displaystyle vme=m'e'u}$para algunos morfismos${\displaystyle e,e'\in E}$y${\displaystyle m,m'\in M}$, entonces existe un morfismo único${\displaystyle w}$haciendo que el siguiente diagrama conmute :

Observación:${\displaystyle (u,v)}$es un morfismo de${\displaystyle me}$a${\displaystyle m'e'}$en la categoría de flechas .

Dos morfismos${\displaystyle e}$y${\displaystyle m}$Se dice que son ortogonales , denotado${\displaystyle e\downarrow m}$, si para cada par de morfismos${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle ve=mu}$Hay un morfismo único${\displaystyle w}$de tal manera que el diagrama

conmuta. Esta noción puede extenderse para definir las ortogonales de conjuntos de morfismos mediante

${\displaystyle H^{\uparrow }=\{e\quad |\quad \forall h\in H,e\downarrow h\}}$y${\displaystyle H^{\downarrow }=\{m\quad |\quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.}$

Dado que en un sistema de factorización${\displaystyle E\cap M}$contiene todos los isomorfismos, la condición (3) de la definición es equivalente a

(3')${\displaystyle E\subseteq M^{\uparrow }}$y${\displaystyle M\subseteq E^{\downarrow }.}$

Prueba: En el diagrama anterior (3), tome${\displaystyle m:=id,\ e':=id}$(identidad en el objeto apropiado) y${\displaystyle m':=m}$.

La pareja${\displaystyle (E,M)}$Un conjunto de clases de morfismos de C es un sistema de factorización si y solo si satisface las siguientes condiciones:

1. Cada morfismo f de C puede factorizarse como${\displaystyle f=m\circ e}$con${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle m\in M.}$
2. ${\displaystyle E=M^{\arriba }}$y${\displaystyle M=E^{\downarrow }.}$

Supongamos que e y m son dos morfismos en una categoría C. Entonces , e tiene la propiedad de elevación izquierda con respecto a m (y m tiene la propiedad de elevación derecha con respecto a e ) cuando para cada par de morfismos u y v tales que ve  = mu existe un morfismo w tal que el siguiente diagrama conmuta. La diferencia con la ortogonalidad es que w no es necesariamente único. 

Un sistema de factorización débil ( E , M ) para una categoría C consta de dos clases de morfismos E y M de C tales que: ^{[ 1 ]}

1. La clase E es precisamente la clase de morfismos que tienen la propiedad de levantamiento izquierdo con respecto a cada morfismo en M.
2. La clase M es precisamente la clase de morfismos que tienen la propiedad de levantamiento derecha con respecto a cada morfismo en E.
3. Cada morfismo f de C puede factorizarse como${\displaystyle f=m\circ e}$para algunos morfismos${\displaystyle e\in E}$y${\displaystyle m\in M}$.

Esta noción conduce a una definición sucinta de categorías modelo : una categoría modelo es un par que consta de una categoría C y clases de (las llamadas) equivalencias débiles W , fibraciones F y cofibraciones C de modo que

• C tiene todos los límites y colímites,

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$es un sistema de factorización débil,

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$es un sistema de factorización débil, y

• ${\displaystyle W}$satisface la propiedad de dos de tres: si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son morfismos componibles y dos de${\displaystyle f,g,g\circ f}$están en${\displaystyle W}$, entonces también lo es el tercero. ^{[ 2 ]}

Una categoría modelo es una categoría completa y cocomplete equipada con una estructura modelo. Un mapa se llama fibración trivial si pertenece a${\displaystyle F\cap W,}$y se denomina cofibración trivial si pertenece a${\displaystyle C\cap W.}$Un objeto${\displaystyle X}$se llama fibrante si el morfismo${\displaystyle X\rightarrow 1}$al objeto terminal es una fibración, y se llama cofibrante si el morfismo${\displaystyle 0\rightarrow X}$a partir del objeto inicial es una cofibración. ^{[ 3 ]}

• Riehl, Emily (2008), Sistemas de factorización (PDF)