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Articulo de referencia

Valores trigonométricos exactos

En matemáticas, los valores de las funciones trigonométricas se pueden expresar aproximadamente, como en porque ⁡ ( π / 4 ) ≈ 0,707 {\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707} , o...

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En matemáticas, los valores de las funciones trigonométricas se pueden expresar aproximadamente, como enporque⁡(π/4)≈0,707{\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}, o exactamente, como enporque⁡(π/4)=2/2{\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}Si bien las tablas trigonométricas contienen muchos valores aproximados, los valores exactos de ciertos ángulos pueden expresarse mediante una combinación de operaciones aritméticas y raíces cuadradas . Los ángulos con valores trigonométricos que se pueden expresar de esta manera son precisamente aquellos que se pueden construir con un compás y una regla , y estos valores se denominan números construibles .

Ángulos comunes

Las funciones trigonométricas de ángulos que son múltiplos de 15°, 18° o 22,5° tienen valores algebraicos simples. Estos valores se enumeran en la siguiente tabla para ángulos de 0° a 45° [ 1 ] [ 2 ] (ver más abajo para las demostraciones). En la tabla siguiente, la etiqueta "Indefinido" representa una razón.1:0.{\displaystyle 1:0.}Si el codominio de las funciones trigonométricas se toma como los números reales , estas entradas no están definidas , mientras que si el codominio se toma como los números reales extendidos proyectivamente , estas entradas toman el valor∞{\displaystyle \infty }(véase división por cero ).

Para ángulos fuera de este rango, los valores trigonométricos se pueden encontrar aplicando identidades de reflexión y desplazamiento , como por ejemplo:

pecado⁡(π2−θ)=porque⁡(θ),pecado⁡(2π+θ)=pecado⁡(π−θ)=pecado⁡(θ),pecado⁡(π+θ)=pecado⁡(−θ)=−pecado⁡(θ),porque⁡(2π+θ)=porque⁡(−θ)=porque⁡(θ),porque⁡(π+θ)=porque⁡(π−θ)=−porque⁡(θ).{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}

Por ejemplo, para cualquier θ mayor que ⁠ π / 4 ⁠ , para hallar su seno, siga estos pasos para operar en el rango de 0 a ⁠ π / 4 ⁠ :

  1. Mientras sea mayor que 2π , réstale 2π . Ahora intenta encontrar sin( θ ) .
  2. Si es mayor que π , réstale π y trata de encontrar − sin( θ ) .
  3. Si es mayor que ⁠ π / 2 ⁠ , réstale ⁠ π / 2 ⁠ y trata de encontrar cos( θ ) .
  4. Si es mayor que π / 4 , réstalo de π / 2 . Si estás intentando encontrar el coseno debido al paso 3, ahora intenta encontrar sin( θ ) . Si estás intentando encontrar el seno porque no entraste en el paso 3, intenta encontrar cos( θ ) .

Números trigonométricos

Un número trigonométrico es un número que puede expresarse como el seno o el coseno de un múltiplo racional de π radianes . [ 3 ] Dado quepecado⁡(incógnita)=porque⁡(incógnita−π/2),{\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}El caso del seno puede omitirse de esta definición. Por lo tanto, cualquier número trigonométrico puede escribirse comoporque⁡(2πk/norte){\displaystyle \cos(2\pi k/n)}donde k y n son números enteros. Este número puede considerarse como la parte real del número complejo.porque⁡(2πk/norte)+ipecado⁡(2πk/norte){\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}La fórmula de De Moivre muestra que los números de esta forma son raíces de la unidad :

(porque⁡(2πknorte)+ipecado⁡(2πknorte))norte=porque⁡(2πk)+ipecado⁡(2πk)=1.{\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1.}

(Por el contrario, la parte real de cualquier raíz de la unidad es un número trigonométrico). Dado que la raíz de la unidad es una raíz del polinomio x n  −  1, es algebraica . Dado que el número trigonométrico es el promedio de la raíz de la unidad y su conjugado complejo , y los números algebraicos son cerrados bajo operaciones aritméticas, todo número trigonométrico es algebraico. [ 3 ] Los polinomios mínimos de los números trigonométricos pueden enumerarse explícitamente . [ 4 ] En contraste, por el teorema de Lindemann-Weierstrass , el seno o coseno de cualquier número algebraico distinto de cero es siempre trascendente . [ 5 ]

Según el teorema de Niven , los únicos números trigonométricos racionales son 0, 1, −1, 1/2 y −1/2. [ 6 ]

Constructibilidad

Un ángulo se puede construir con un compás y una regla si y solo si su seno (o equivalentemente coseno) se puede expresar mediante una combinación de operaciones aritméticas y raíces cuadradas aplicadas a números enteros. [ 7 ] Además, un ángulo que es un múltiplo racional deπ{\displaystyle \pi }radianes es construible si y solo si, cuando se expresa comoaπ/b{\displaystyle a\pi /b}radianes, donde a y b son enteros primos relativos , la factorización prima del denominador, b , es el producto de alguna potencia de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos (un primo de Fermat es un número primo uno mayor que una potencia de dos). [ 7 ] : 46

Así, por ejemplo,2π/15=24∘{\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}es un ángulo construible porque 15 es el producto de los primos de Fermat 3 y 5. De manera similarπ/12=15∘{\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}es un ángulo construible porque 12 es una potencia de dos (4) veces un primo de Fermat (3). Peroπ/9=20∘{\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}no es un ángulo constructable, ya que9=3⋅3{\displaystyle 9=3\cdot 3}no es el producto de primos de Fermat distintos ya que contiene 3 como factor dos veces, y tampoco esπ/7≈25.714∘{\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}, ya que 7 no es un primo de Fermat. [ 8 ]

De la caracterización anterior se deduce que un ángulo de un número entero de grados es construible si y solo si este número de grados es un múltiplo de 3 .

Valores construibles

45°

Desde una identidad de reflexión ,porque⁡(45∘)=pecado⁡(90∘−45∘)=pecado⁡(45∘){\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}Sustituyendo en la identidad trigonométrica pitagóricapecado⁡(45∘)2+porque⁡(45∘)2=1{\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}, se obtiene el polinomio mínimo2pecado⁡(45∘)2−1=0{\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}Tomando la raíz positiva, uno encuentrapecado⁡(45∘)=porque⁡(45∘)=1/2=2/2{\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}.

Una forma geométrica de derivar el seno o coseno de 45° es considerando un triángulo rectángulo isósceles con cateto de longitud 1. Dado que dos de los ángulos en un triángulo isósceles son iguales, si el ángulo restante es de 90° para un triángulo rectángulo, entonces los dos ángulos iguales son cada uno de 45°. Entonces, por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo es2{\displaystyle {\sqrt {2}}}. Escalar el triángulo de modo que su hipotenusa tenga una longitud de 1 divide las longitudes por2{\displaystyle {\sqrt {2}}}lo que da el mismo valor para el seno o coseno de 45° dado anteriormente.

30° y 60°

Los valores del seno y el coseno de 30 y 60 grados se derivan del análisis del triángulo equilátero . En un triángulo equilátero, los 3 ángulos son iguales y suman 180°, por lo tanto, cada ángulo de los vértices es de 60°. Al bisecar un vértice, se obtiene el triángulo rectángulo especial con ángulos de 30-60-90. Por simetría, el lado bisecado es la mitad del lado del triángulo equilátero, por lo que se concluye quepecado⁡(30∘)=1/2{\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}Las identidades pitagóricas y de reflexión dan entoncespecado⁡(60∘)=porque⁡(30∘)=1−(1/2)2=3/2{\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}.

18°, 36°, 54° y 72°

El valor depecado⁡(18∘){\displaystyle \sin(18^{\circ })}puede derivarse utilizando las fórmulas de ángulos múltiples para seno y coseno. [ 9 ] Mediante la fórmula de ángulo doble para seno: pecado⁡(36∘)=2pecado⁡(18∘)porque⁡(18∘){\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })} Mediante la fórmula del ángulo triple para el coseno: porque⁡(54∘)=porque3⁡(18∘)−3pecado2⁡(18∘)porque⁡(18∘)=porque⁡(18∘)(1−4pecado2⁡(18∘)){\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))} Como sen(36°) = cos(54°), igualamos estas dos expresiones y cancelamos un factor de cos(18°): 2pecado⁡(18∘)=1−4pecado2⁡(18∘){\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })} Esta ecuación cuadrática tiene una sola raíz positiva: pecado⁡(18∘)=5−14{\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}

La identidad pitagórica entonces daporque⁡(18∘){\displaystyle \cos(18^{\circ })}y las fórmulas del ángulo doble y triple dan seno y coseno de 36°, 54° y 72°. Entoncesporque⁡(36∘)=(5+1)/4=φ/2{\displaystyle \cos(36^{\circ })=({\sqrt {5}}+1)/4=\varphi /2}, dondeφ{\displaystyle \varphi }es la proporción áurea .

Un método geométrico para hallar los senos de estos ángulos proviene del análisis de un pentágono regular. Dos de sus diagonales forman un ángulo de 36° que puede inscribirse en un círculo, y un lado del pentágono forma una cuerda del círculo que subtiende este ángulo inscrito. Para calcular la longitud de la cuerda, se forma un cuadrilátero a partir de cuatro puntos del pentágono. Si cada diagonal tiene una longitud de uno, entonces al aplicar el teorema de Ptolomeo a este cuadrilátero se obtiene la ecuaciónincógnita2+incógnita−1=0{\displaystyle x^{2}+x-1=0}donde x es la longitud de la cuerda. La raíz positiva de esta ecuación es este valor:

5−12{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}

Al bisecar el ángulo de 36°, se obtiene un triángulo rectángulo con ángulos de 18° y 72°, y la cuerda se divide por la mitad, lo que da como resultado el mismo valor del seno de 18° mencionado anteriormente. El valor del seno de 72° se deduce del teorema de Pitágoras, y los valores de los senos de 36° y 54° se obtienen de sen(18°) y de las fórmulas del ángulo doble y triple.

Múltiplos restantes de 3°

 Wikimedia Commons dispone de un archivo con una tabla que contiene estos valores exactos.

Los senos y cosenos de todos los demás ángulos entre 0 y 90° que son múltiplos de 3° se pueden derivar de los ángulos descritos anteriormente y de las fórmulas de suma y diferencia . Específicamente, [ 10 ]

3∘=18∘−15∘,24∘=60∘−36∘,51∘=36∘+15∘,78∘=60∘+18∘,6∘=36∘−30∘,27∘=45∘−18∘,57∘=75∘−18∘,81∘=45∘+36∘,9∘=45∘−36∘,33∘=18∘+15∘,63∘=45∘+18∘,84∘=54∘+30∘,12∘=30∘−18∘,39∘=54∘−15∘,66∘=36∘+30∘,87∘=72∘+15∘.15∘=45∘−30∘,42∘=60∘−18∘,69∘=54∘+15∘,21∘=36∘−15∘,48∘=30∘+18∘,75∘=45∘+30∘,{\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=60^{\circ }-36^{\circ },&51^{\circ }&=36^{\circ }+15^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=75^{\circ }-18^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=18^{\circ }+15^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=54^{\circ }-15^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=72^{\circ }+15^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=54^{\circ }+15^{\circ },&\\21^{\circ }&=36^{\circ }-15^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}

Por ejemplo, dado que24∘=60∘−36∘{\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}Su coseno se puede obtener mediante la fórmula de la diferencia de cosenos: porque⁡(24∘)=porque⁡(60∘)porque⁡(36∘)+pecado⁡(60∘)pecado⁡(36∘)=125+14+3210−254=1+5+30−658{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\[4mu]&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\[6mu]&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}

Medio ángulo

Si el denominador, b , se multiplica por factores adicionales de 2, el seno y el coseno se pueden derivar con las fórmulas del ángulo mitad . Por ejemplo, 22,5° ( π /8 rad) es la mitad de 45°, por lo que su seno y coseno son: [ 11 ]

pecado⁡(22.5∘)=12(1−porque⁡(45∘))=12(1−22)=122−2porque⁡(22.5∘)=12(1+porque⁡(45∘))=12(1+22)=122+2{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(22.5^{\circ })&={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\bigl (}1-\cos(45^{\circ }){\bigr )}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\\\cos(22.5^{\circ })&={\sqrt {{\frac {1}{2}}{\bigl (}1+\cos(45^{\circ }){\bigr )}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\end{aligned}}}

La aplicación repetida de las fórmulas del semiángulo conduce a radicales anidados , específicamente raíces cuadradas anidadas de 2 de la forma2±⋯{\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}. En general, el seno y el coseno de la mayoría de los ángulos de la formaβ/2norte{\displaystyle \beta /2^{n}}se puede expresar usando raíces cuadradas anidadas de 2 en términos deβ{\displaystyle \beta }. Específicamente, si se puede escribir un ángulo como α=π(12−∑i=1k∏j=1ibj2i+1)=π(12−b14−b1b28−b1b2b316−…−b1b2…bk2k+1){\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)} dóndebk∈[−2,2]{\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}ybi{\displaystyle b_{i}}es -1, 0 o 1 parai<k{\displaystyle i<k}, entonces [ 12 ]porque⁡(α)=b122+b22+b32+…+bk−12+2pecado⁡(πbk4){\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}} y sib1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}entonces [ 12 ]pecado⁡(α)=122−b22+b32+b42+…+bk−12+2pecado⁡(πbk4){\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}} Por ejemplo,13π32=π(12−14+18+116−132){\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}, entonces uno tiene(b1,b2,b3,b4)=(1,−1,1,−1){\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}y obtiene: porque⁡(13π32)=122−2+2+2pecado⁡(−π4)=122−2+2−2pecado⁡(13π32)=122+2+2−2{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\\sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}

Denominador de 17

Dado que 17 es un número primo de Fermat, se puede construir un polígono regular de 17 lados , lo que significa que los senos y cosenos de ángulos como2π/17{\displaystyle 2\pi /17}Los radianes pueden expresarse en términos de raíces cuadradas. En particular, en 1796, Carl Friedrich Gauss demostró que: [ 13 ] [ 14 ]porque⁡(2π17)=−1+17+34−217+217+317−170+381716{\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}

Los senos y cosenos de ángulos construibles relacionados que midenkπ/(17⋅2norte){\displaystyle \textstyle k\pi /(17\cdot 2^{n})}radianes (para enteros )k{\displaystyle k}y​​norte{\displaystyle n}) se puede derivar de este.

No constructibilidad de 1°

Como se discute en §  Constructibilidad , solo ciertos ángulos que son múltiplos racionales deπ{\displaystyle \pi }Los radianes tienen valores trigonométricos que pueden expresarse con raíces cuadradas. El ángulo 1°, siendoπ/180=π/(22⋅32⋅5){\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}radianes, tiene un factor repetido de 3 en el denominador y por lo tantopecado⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}no puede expresarse utilizando únicamente raíces cuadradas. Una cuestión relacionada es si puede expresarse utilizando raíces cúbicas. Se pueden utilizar los dos enfoques siguientes, pero ambos dan como resultado una expresión que involucra la raíz cúbica de un número complejo . La teoría de Galois muestra que el casus irreducible no puede expresarse en términos únicamente de radicales reales. [ 15 ]

Utilizando la identidad del ángulo triple, podemos identificarpecado⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}como raíz de un polinomio cúbico:pecado⁡(3∘)=−4incógnita3+3incógnita{\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}Las tres raíces de este polinomio son:pecado⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })},pecado⁡(59∘){\displaystyle \sin(59^{\circ })}, y−pecado⁡(61∘){\displaystyle -\sin(61^{\circ })}. Desdepecado⁡(3∘){\displaystyle \sin(3^{\circ })}es construible, una expresión para ello podría insertarse en la fórmula de Cardano para producir una expresión parapecado⁡(1∘){\displaystyle \sin(1^{\circ })}Sin embargo, dado que las tres raíces de la cúbica son reales, se trata de un caso de casus irreducibilis, y la expresión requeriría calcular la raíz cúbica de un número complejo. [ 16 ] [ 17 ]

Alternativamente, mediante la fórmula de De Moivre :

(porque⁡(1∘)+ipecado⁡(1∘))3=porque⁡(3∘)+ipecado⁡(3∘),(porque⁡(1∘)−ipecado⁡(1∘))3=porque⁡(3∘)−ipecado⁡(3∘).{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}

Tomando raíces cúbicas y sumando o restando las ecuaciones, tenemos: [ 17 ]

porque⁡(1∘)=12(porque⁡(3∘)+ipecado⁡(3∘)3+porque⁡(3∘)−ipecado⁡(3∘)3),pecado⁡(1∘)=12i(porque⁡(3∘)+ipecado⁡(3∘)3−porque⁡(3∘)−ipecado⁡(3∘)3).{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}

Véase también

Referencias

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