Espacio de probabilidad

En teoría de la probabilidad , un espacio de probabilidad o una terna de probabilidad $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ Es una construcción matemática que proporciona un modelo formal de un proceso o experimento aleatorio .

Un espacio de probabilidad consta de tres elementos: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Un espacio muestral , $\Omega$ , que es el conjunto de todos los resultados posibles de un proceso aleatorio en consideración.
Un espacio para eventos , ${\mathcal {F}}$ , que es un conjunto de eventos , donde un evento es un subconjunto de resultados en el espacio muestral.
Una función de probabilidad , $P$ , que asigna a cada evento en el espacio de eventos una probabilidad , que es un número entre 0 y 1 (inclusive).

Para proporcionar un modelo de probabilidad, estos elementos deben satisfacer los axiomas de probabilidad .

Por ejemplo, se puede definir un espacio de probabilidad que modele el lanzamiento de un dado :

El espacio muestral $\Omega$ es típicamente el conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}$ donde cada elemento del conjunto es una etiqueta que representa el resultado de que el dado caiga sobre esa etiqueta. Por ejemplo, $1$ representa el resultado de que el dado caiga en 1.
El espacio para eventos ${\mathcal {F}}$ podría ser el conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral, que entonces contendría eventos simples como $\{5\}$ ("el dado cae en 5"), así como eventos complejos como $\{2,4,6\}$ ("el dado cae en un número par").
La función de probabilidad $P$ Luego, se asignaría cada evento al número de resultados de ese evento dividido por 6; por ejemplo, $\{5\}$ se asignaría a $1/6$ , y $\{2,4,6\}$ se asignaría a $3/6=1/2$ .

Cuando se realiza un experimento, se obtiene exactamente un resultado. $\omega$ del espacio muestral $\Omega$ Todos los eventos en el espacio para eventos ${\mathcal {F}}$ que contienen el resultado seleccionado $\omega$ Se dice que "han ocurrido". La función de probabilidad $P$ debe definirse de tal manera que, si el experimento se repitiera arbitrariamente muchas veces, el número de ocurrencias de cada evento, como fracción del número total de experimentos, tenderá con mucha probabilidad hacia la probabilidad asignada a ese evento.

El matemático soviético Andrey Kolmogorov introdujo la noción de espacio de probabilidad y los axiomas de probabilidad en la década de 1930. En la teoría de la probabilidad moderna, existen enfoques alternativos para la axiomatización, como el álgebra de variables aleatorias .

Introducción

{\displaystyle \Omega } — Espacio de probabilidad para lanzar un dado dos veces seguidas: El espacio muestral $\Omega$ Consta de los 36 resultados posibles; se muestran tres eventos diferentes (polígonos de colores), con sus respectivas probabilidades (suponiendo una distribución uniforme discreta ).

Un espacio de probabilidad es una terna matemática. $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ que presenta un modelo para una clase particular de situaciones del mundo real. Al igual que con otros modelos, su autor define en última instancia qué elementos $\Omega$ , ${\mathcal {F}}$ , y $P$ contendrá.

El espacio muestral $\Omega$ es el conjunto de todos los resultados posibles. Un resultado es la consecuencia de una única ejecución del modelo. Los resultados pueden ser estados de la naturaleza, posibilidades, resultados experimentales, etc. Cada instancia de la situación del mundo real (o ejecución del experimento) debe producir exactamente un resultado. Si los resultados de diferentes ejecuciones de un experimento difieren de alguna manera relevante, se consideran resultados distintos. Qué diferencias son relevantes depende del tipo de análisis que queramos realizar. Esto conlleva diferentes elecciones del espacio muestral.
El álgebra σ ${\mathcal {F}}$ es una colección de todos los eventos que nos gustaría considerar. Esta colección puede incluir o no cada uno de los eventos elementales . Aquí, un "evento" es un conjunto de cero o más resultados; es decir, un subconjunto del espacio muestral. Se considera que un evento ha "ocurrido" durante un experimento cuando el resultado de este último es un elemento del evento. Dado que un mismo resultado puede ser miembro de muchos eventos, es posible que muchos eventos hayan ocurrido dado un solo resultado. Por ejemplo, cuando el ensayo consiste en lanzar dos dados, el conjunto de todos los resultados con una suma de 7 puntos puede constituir un evento, mientras que los resultados con un número impar de puntos pueden constituir otro evento. Si el resultado es el elemento del evento elemental de dos puntos en el primer dado y cinco en el segundo, entonces se dice que ambos eventos, "7 puntos" y "número impar de puntos", han ocurrido.
La medida de probabilidad $P$ es una función de conjunto que devuelve la probabilidad de un evento . Una probabilidad es un número real entre cero (los eventos imposibles tienen probabilidad cero, aunque los eventos con probabilidad cero no son necesariamente imposibles) y uno (el evento ocurre casi con seguridad , con casi total certeza). Por lo tanto, $P$ es una función $P:{\mathcal {F}}\to [0,1].$ La función de medida de probabilidad debe satisfacer dos requisitos simples: Primero, la probabilidad de una unión contable de eventos mutuamente excluyentes debe ser igual a la suma contable de las probabilidades de cada uno de estos eventos. Por ejemplo, la probabilidad de la unión de los eventos mutuamente excluyentes ${\text{Encabezado}}$ y ${\text{Cola}}$ en el experimento aleatorio de un lanzamiento de moneda, $P({\text{Cabeza}}\cup {\text{Cola}})$ , es la suma de probabilidad para ${\text{Encabezado}}$ y la probabilidad de ${\text{Cola}}$ , $P({\text{Cara}})+P({\text{Cruz}})$ . Segundo, la probabilidad del espacio muestral $\Omega$ debe ser igual a 1 (lo que explica que, dada una ejecución del modelo, debe ocurrir algún resultado). En el ejemplo anterior, la probabilidad del conjunto de resultados $P(\{{\text{Cara}},{\text{Cola}}\})$ debe ser igual a uno, porque es completamente seguro que el resultado será o ${\text{Encabezado}}$ o ${\text{Cola}}$ (el modelo ignora cualquier otra posibilidad) en un solo lanzamiento de moneda.

No todos los subconjuntos del espacio muestral $\Omega$ necesariamente debe considerarse un evento: algunos de los subconjuntos simplemente no son de interés, otros no pueden ser "medidos" . Esto no es tan obvio en un caso como el lanzamiento de una moneda. En otro ejemplo, se podrían considerar las longitudes de lanzamiento de jabalina, donde los eventos suelen ser intervalos como "entre 60 y 65 metros" y uniones de dichos intervalos, pero no conjuntos como los "números irracionales entre 60 y 65 metros".

Definición

En resumen, un espacio de probabilidad es un espacio de medida tal que la medida de todo el espacio es igual a uno.

La definición ampliada es la siguiente: un espacio de probabilidad es una tripleta $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ compuesto por:

el espacio muestral $\Omega$ – un conjunto arbitrario no vacío ,
el álgebra σ ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ (también llamado campo σ) – un conjunto de subconjuntos de $\Omega$ $\Omega$ , denominados eventos , tales que:
- ${\mathcal {F}}$ contiene el espacio muestral: $\Omega \in {\mathcal {F}}$ ,
- ${\mathcal {F}}$ está cerrado bajo complementos : si $A\in {\mathcal {F}}$ , entonces también $(\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}$ ,
- ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ está cerrado bajo uniones contables : si $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ para $i=1,2,\dots$ $i=1,2,\dots$ , entonces también ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
  - El corolario de las dos propiedades anteriores y de la ley de De Morgan es que ${\mathcal {F}}$ también está cerrado bajo intersecciones contables : si $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ para $i=1,2,\dots$ , entonces también ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
la medida de probabilidad $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ – una función en ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ de tal manera que:
- P es numerablemente aditivo (también llamado σ-aditivo): si $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}$ es una colección numerable de conjuntos disjuntos dos a dos , entonces ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
- La medida de todo el espacio muestral es igual a uno: $P(\Omega )=1$ .

Caso discreto

Para un espacio muestral contable $\Omega$ , se pueden atribuir probabilidades a elementos de $\Omega$ mediante una distribución de probabilidad discreta $p:\Omega \a [0,1]$ de tal manera que ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1,}$ por lo cual todos los subconjuntos de $\Omega$ pueden ser tratados como eventos (por lo tanto, ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ es el conjunto potencia ) y la medida de probabilidad tiene la forma

El álgebra σ más grande ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ describe la información completa. En general, un álgebra σ ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ corresponde a una partición finita o contable $\Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots$ , la forma general de un evento $A\in {\mathcal {F}}$ ser $A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots$ .

El caso $p(\omega )=0$ está permitido por la definición, pero rara vez se usa, ya que tal $\omega$ puede excluirse con seguridad del espacio muestral.

Caso general

Si $Ω$ es incontable , aun así, puede ocurrir que $P (ω) \neq 0$ para algún $ω$ ; a estos $ω$ se les llama átomos . Son un conjunto a lo sumo contable (posiblemente vacío ), cuya probabilidad es la suma de las probabilidades de todos los átomos. Si esta suma es igual a 1, entonces todos los demás puntos pueden excluirse con seguridad del espacio muestral, lo que nos devuelve al caso discreto. De lo contrario, si la suma de las probabilidades de todos los átomos está entre 0 y 1, entonces el espacio de probabilidad se descompone en una parte discreta (atómica) (posiblemente vacía) y una parte no atómica .

Caso no atómico

Si $P (ω) = 0$ para todo $ω \in Ω$ , entonces Ω debe ser incontable (de lo contrario, el axioma $P (Ω) = 1$ sería imposible) y la ecuación ( 1 ) no se aplica: la probabilidad de un conjunto no es necesariamente la suma de las probabilidades de sus elementos, ya que la sumatoria solo se define para números contables de elementos. Esto hace que la teoría del espacio de probabilidad sea mucho más técnica. Una formulación más fuerte que la sumatoria, la teoría de la medida, es aplicable. Inicialmente, las probabilidades se atribuyen a algunos conjuntos "generadores" (véanse los ejemplos). Luego, un procedimiento de límite permite asignar probabilidades a conjuntos que son límites de secuencias de conjuntos generadores, o límites de límites, y así sucesivamente. Todos estos conjuntos son el álgebra σ. ${\mathcal {F}}$ Para obtener detalles técnicos, consulte el teorema de extensión de Carathéodory . Conjuntos pertenecientes a ${\mathcal {F}}$ se denominan medibles . En general, son mucho más complicados que los conjuntos generadores, pero mucho mejores que los conjuntos no medibles .

Espacio de probabilidad completo

Un espacio de probabilidad $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)$ Se dice que es un espacio de probabilidad completo si para todo $B\in {\mathcal {F}}$ con $P(B)=0$ y todo $A\;\subset \;B$ uno tiene $A\in {\mathcal {F}}$ A menudo, el estudio de los espacios de probabilidad se restringe a espacios de probabilidad completos.

Ejemplos

Ejemplos discretos

Ejemplo 1

Si el experimento consiste en lanzar una sola moneda justa , el resultado será cara o cruz: $\Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}$ . El álgebra σ ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ contiene $2^{2}=4$ eventos, a saber: $\{{\text{H}}\}$ ("cabezas"), $\{{\text{T}}\}$ ("cruz"), $\{\}$ ("ni cara ni cruz"), y $\{{\text{H}},{\text{T}}\}$ ("cara o cruz"); en otras palabras, ${\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}$ Hay un cincuenta por ciento de probabilidad de lanzar cara y un cincuenta por ciento de cruz, por lo que la medida de probabilidad en este ejemplo es $P(\{\})=0$ , $P(\{{\text{H}}\})=0.5$ , $P(\{{\text{T}}\})=0.5$ , $P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1$ .

Ejemplo 2

Se lanza una moneda justa tres veces. Hay 8 resultados posibles: $Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}$ (donde "HTH", por ejemplo, significa que la primera vez la moneda cayó cara, la segunda vez cruz y la última vez cara de nuevo). La información completa se describe mediante el álgebra σ. ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ de $28 = 256$ eventos, donde cada uno de los eventos es un subconjunto de Ω.

Alice solo conoce el resultado del segundo lanzamiento. Por lo tanto, su información incompleta se describe mediante la partición $Ω = A 1 ⊔ A 2 = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}$ , donde ⊔ es la unión disjunta , y el álgebra σ correspondiente ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}$ Bryan solo conoce el número total de colas. Su partición contiene cuatro partes: $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ B 2 ⊔ B 3 = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}$ ; en consecuencia, su σ-álgebra ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ contiene 2 ⁴ = 16 eventos.

Las dos σ-álgebras son incomparables : ninguna ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ ni ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$ ; ambas son sub-σ-álgebras de 2 ^Ω .

Ejemplo 3

Si se seleccionan aleatoriamente 100 votantes de entre todos los votantes de California y se les pregunta por quién votarán para gobernador, entonces el conjunto de todas las secuencias de 100 votantes californianos sería el espacio muestral Ω. Suponemos que se utiliza un muestreo sin reemplazo : solo se permiten secuencias de 100 votantes diferentes . Para simplificar, se considera una muestra ordenada, es decir, una secuencia (Alice, Bryan) es diferente de (Bryan, Alice). También damos por sentado que cada votante potencial conoce con exactitud su futura elección, es decir, no elige al azar.

Alice solo sabe si Arnold Schwarzenegger ha recibido al menos 60 votos. Su información incompleta se describe mediante el álgebra σ. ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$ que contiene: (1) el conjunto de todas las secuencias en Ω donde al menos 60 personas votan por Schwarzenegger; (2) el conjunto de todas las secuencias donde menos de 60 votan por Schwarzenegger; (3) todo el espacio muestral Ω; y (4) el conjunto vacío ∅.

Bryan conoce el número exacto de votantes que van a votar por Schwarzenegger. Su información incompleta se describe mediante la partición correspondiente $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ \dots ⊔ B 100$ y el álgebra σ. ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ Consta de ²¹⁰¹ eventos.

En este caso, el σ-álgebra de Alice es un subconjunto del de Bryan: ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ . El σ-álgebra de Bryan es a su vez un subconjunto del σ-álgebra de "información completa" mucho más grande 2 ^Ω que consta de $2 n (n -1)\dots(n -99)$ eventos, donde n es el número de todos los votantes potenciales en California.

Ejemplos no atómicos

Ejemplo 4

Se elige un número entre 0 y 1 al azar, de manera uniforme. Aquí Ω = [0,1], ${\mathcal {F}}$ es el σ-álgebra de conjuntos de Borel en Ω, y P es la medida de Lebesgue en [0,1].

En este caso, los intervalos abiertos de la forma $(a, b)$ , donde $0 < a < b < 1$ , podrían tomarse como conjuntos generadores. A cada uno de estos conjuntos se le puede asignar la probabilidad $P ((a, b)) = (b - a)$ , que genera la medida de Lebesgue en [0,1] y el álgebra σ de Borel en Ω.

Ejemplo 5

Se lanza una moneda justa infinitamente. Aquí se puede tomar Ω = {0,1} ^∞ , el conjunto de todas las secuencias infinitas de números 0 y 1. Los conjuntos cilíndricos ${(x 1, x 2, ...) \in Ω : x 1 = a 1, ..., x n = a n}$ pueden usarse como conjuntos generadores. Cada uno de estos conjuntos describe un evento en el que los primeros n lanzamientos han resultado en una secuencia fija $(a 1, ..., a n)$ , y el resto de la secuencia puede ser arbitrario. A cada uno de estos eventos se le puede dar naturalmente la probabilidad de 2 ^{− n} .

Estos dos ejemplos no atómicos están estrechamente relacionados: una secuencia $(x 1, x 2, ...) \in {0,1} \infty$ conduce al número $2 -1 x 1 + 2 -2 x 2 + \dots \in [0,1]$ . Sin embargo, esto no es una correspondencia biunívoca entre {0,1} ^∞ y [0,1]: es un isomorfismo módulo cero , lo que permite tratar los dos espacios de probabilidad como dos formas del mismo espacio de probabilidad. De hecho, todos los espacios de probabilidad no atómicos no patológicos son iguales en este sentido. Son los llamados espacios de probabilidad estándar . Las aplicaciones básicas de los espacios de probabilidad son insensibles a la estandarización. Sin embargo, el condicionamiento no discreto es fácil y natural en espacios de probabilidad estándar; de lo contrario, se vuelve oscuro.

Conceptos relacionados

Distribución de probabilidad

variables aleatorias

Una variable aleatoria X es una función medible X : Ω → S del espacio muestral Ω a otro espacio medible S llamado espacio de estados .

Si A ⊂ S , la notación Pr( X ∈ A ) es una abreviatura comúnmente utilizada para $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$ .

Definir los eventos en términos del espacio muestral.

Si Ω es numerable , casi siempre definimos ${\mathcal {F}}$ como el conjunto de potencias de Ω, es decir ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ que es trivialmente un álgebra σ y la más grande que podemos crear usando Ω. Por lo tanto, podemos omitir ${\mathcal {F}}$ y simplemente escribe (Ω,P) para definir el espacio de probabilidad.

Por otro lado, si Ω es incontable y usamos ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ Nos metemos en problemas al definir nuestra medida de probabilidad P porque ${\mathcal {F}}$ es demasiado "grande", es decir, a menudo habrá conjuntos a los que será imposible asignar una medida única. En este caso, tenemos que usar un álgebra σ más pequeña. ${\mathcal {F}}$ , por ejemplo, el álgebra de Borel de Ω, que es el álgebra σ más pequeña que hace que todos los conjuntos abiertos sean medibles.

Probabilidad condicional

La definición de espacios de probabilidad de Kolmogorov da lugar al concepto natural de probabilidad condicional. Todo conjunto $A$ con probabilidad distinta de cero (es decir, $P (A) > 0$ ) define otra medida de probabilidad. $P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}$ en el espacio. Esto se suele pronunciar como la "probabilidad de B dado A ".

Para cualquier evento $A$ tal que $P (A) > 0$ , la función $Q$ definida por $Q (B) = P (B | A)$ para todos los eventos $B$ es en sí misma una medida de probabilidad.

Independencia

Se dice que dos eventos, A y B , son independientes si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

Se dice que dos variables aleatorias, $X$ e $Y$ , son independientes si cualquier evento definido en términos de $X$ es independiente de cualquier evento definido en términos de $Y.$ Formalmente, generan σ-álgebras independientes, donde dos σ-álgebras $G$ y $H$ , que son subconjuntos de $F$ , se dicen independientes si cualquier elemento de $G$ es independiente de cualquier elemento de $H.$

Exclusividad mutua

Se dice que dos eventos, $A$ y $B,$ son mutuamente excluyentes o disjuntos si la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro; es decir, su intersección es vacía. Esta es una condición más estricta que la probabilidad de que su intersección sea cero.

Si $A$ y $B$ son eventos disjuntos, entonces $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ . Esto se extiende a una secuencia (finita o infinitamente numerable) de eventos. Sin embargo, la probabilidad de la unión de un conjunto no numerable de eventos no es la suma de sus probabilidades. Por ejemplo, si $Z$ es una variable aleatoria con distribución normal , entonces $P (Z = x)$ es 0 para cualquier $x$ , pero $P (Z \in R) = 1$ .

El evento $A \cap B$ se denomina " A y B ", y el evento $A \cup B$ se denomina " A o B ".

Véase también

Referencias

↑ Loève, Michel . Teoría de la probabilidad, vol. 1. Nueva York: D. Van Nostrand Company, 1955.
↑ Stroock, Daniel W. (1999). Teoría de la probabilidad: una visión analítica. Cambridge University Press.

Bibliografía

Pierre Simon de Laplace (1812) Teoría analítica de la probabilidad

El primer tratado importante que combina el cálculo con la teoría de la probabilidad, originalmente en francés: Théorie Analytique des Probabilités .

Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Fundamentos de la teoría de la probabilidad

El fundamento teórico de la medida moderno de la teoría de la probabilidad; la versión original en alemán ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) apareció en 1933.

Harold Jeffreys (1939) La teoría de la probabilidad

Un enfoque empirista y bayesiano de los fundamentos de la teoría de la probabilidad.

Edward Nelson (1987) Teoría de la probabilidad radicalmente elemental

Fundamentos de la teoría de la probabilidad basados en análisis no estándar. Disponible para descargar. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

Patrick Billingsley : Probabilidad y medida , John Wiley and Sons, Nueva York, Toronto, Londres, 1979.
Henk Tijms (2004) Comprensión de la probabilidad

Una introducción amena a la teoría de la probabilidad para principiantes, Cambridge Univ. Press.

David Williams (1991) Probabilidad con martingalas

Introducción a la probabilidad basada en la teoría de la medida para estudiantes de pregrado, Cambridge Univ. Press.

Gut, Allan (2005). Probabilidad: Un curso de posgrado . Springer. ISBN 0-387-22833-0.

Enlaces externos

Sazonov, VV (2001) [1994], "Espacio de probabilidad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Animación que muestra el espacio de probabilidad de los dados
Laboratorios virtuales de probabilidad y estadística (autor principal Kyle Siegrist), especialmente, Espacios de probabilidad
Ciudadanía
Espacio de probabilidad completo
Weisstein, Eric W. "Espacio de probabilidad" . MathWorld .

[1] Loève, Michel . Teoría de la probabilidad, vol. 1. Nueva York: D. Van Nostrand Company, 1955.

[2] Stroock, Daniel W. (1999). Teoría de la probabilidad: una visión analítica. Cambridge University Press.

[ 1 ]

[ 2 ]