Fibrado vectorial esencialmente finito

En matemáticas, un fibrado vectorial esencialmente finito es un tipo particular de fibrado vectorial definido por Madhav V. Nori , ^{[ 1 ] [ 2 ]} como la herramienta principal en la construcción del esquema del grupo fundamental . Aunque la definición no sea intuitiva, existe una caracterización interesante que convierte a los fibrados vectoriales esencialmente finitos en objetos de estudio bastante naturales en geometría algebraica . La siguiente noción de fibrado vectorial finito se debe a André Weil y será necesaria para definir los fibrados vectoriales esencialmente finitos:

Dejar${\displaystyle X}$ser un plan y${\displaystyle V}$un haz vectorial en${\displaystyle X}$. Para${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$un polinomio integral con coeficientes no negativos define

${\displaystyle f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}}$

Entonces${\displaystyle V}$Se denomina finito si hay dos polinomios distintos.${\displaystyle f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$para qué${\displaystyle f(V)}$es isomorfo a${\displaystyle g(V)}$.

Las dos definiciones siguientes coinciden siempre que${\displaystyle X}$es un esquema reducido, conectado y propio sobre un campo perfecto.

• Dejar${\displaystyle X}$ser un esquema reducido y conectado sobre un campo perfecto${\displaystyle k}$dotado de una sección${\displaystyle x\in X(k)}$Luego, un haz vectorial${\displaystyle V}$encima${\displaystyle X}$es esencialmente finito si y solo si existe un número finito de${\displaystyle k}$- plan de grupo${\displaystyle G}$y un${\displaystyle G}$- torsor${\displaystyle p:P\to X}$de tal manera que${\displaystyle V}$se vuelve trivial sobre${\displaystyle P}$(es decir${\displaystyle p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}}$, dónde${\displaystyle r=rk(V)}$).

• Cuando${\displaystyle X}$es un esquema reducido, conectado y propio sobre un campo perfecto con un punto${\displaystyle x\in X(k)}$entonces la categoría${\displaystyle EF(X)}$de haces vectoriales esencialmente finitos provistos del producto tensorial usual${\displaystyle \otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}}$, el objeto trivial${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$y el functor de fibra${\displaystyle x^{*}}$es una categoría tannakiana .

• El${\displaystyle k}$-esquema de grupo afín${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$naturalmente asociado a la categoría Tannakiana${\displaystyle EF(X)}$se denomina esquema de grupo fundamental .