Esscher transform

En ciencias actuariales , la transformación de Esscher ( Gerber y Shiu 1994 ) es una transformación que toma una densidad de probabilidad f ( x ) y la transforma en una nueva densidad de probabilidad f ( x ; h ) con un parámetro h . Fue introducida por F. Esscher en 1932 ( Esscher 1932 ) . 

Sea f ( x ) una función de densidad de probabilidad. Su transformada de Esscher se define como

${\displaystyle f(x;h)={\frac {e^{hx}f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}f(x)\,dx}}.\,}$

De forma más general, si μ es una medida de probabilidad , la transformada de Esscher de μ es una nueva medida de probabilidad E _h ( μ ) que tiene densidad

${\displaystyle {\frac {e^{hx}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{hx}\,d\mu (x)}}}$

con respecto a μ .

Combinación

La transformada de Esscher de una transformada de Esscher es de nuevo una transformada de Esscher: E _{h 1} E _{h 2} = E _{h 1 + h 2} .     

Inverso

La inversa de la transformada de Esscher es la transformada de Esscher con parámetro negativo: E ^{− 1} _h  = E _{− h} 

Movimiento medio

El efecto de la transformación de Esscher sobre la distribución normal es el desplazamiento de la media:

${\displaystyle E_{h}({\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}))={\mathcal {N}}(\mu +h\sigma ^{2},\,\sigma ^{2}).\,}$

El principio de Esscher es un principio de prima de seguro utilizado en ciencias actuariales que se deriva de la transformada de Esscher. Está dado por${\displaystyle \pi [X,h]=E[Xe^{hX}]/E[e^{hX}]}$, dónde${\displaystyle h}$es un parámetro estrictamente positivo. Esta prima es la prima neta para un riesgo.${\displaystyle Y=Xe^{hX}/m_{X}(h)}$, dónde${\displaystyle m_{X}(h)}$denota la función generadora de momentos . Esta medida de riesgo no respeta la propiedad de homogeneidad positiva de la medida de riesgo coherente para${\displaystyle h>0}$.

• Inclinación exponencial

• Gerber, Hans U.; Shiu, Elias SW (1994). "Valoración de opciones mediante transformadas de Esscher" (PDF) . Transacciones de la Sociedad de Actuarios . 46 : 99–191 .

• Esscher, F. (1932). "Sobre la función de probabilidad en la teoría colectiva del riesgo". Skandinavisk Aktuarietidskrift . 15 (3): 175– 195. doi : 10.1080/03461238.1932.10405883 .