Concepto de solución

En la teoría de juegos , un concepto de solución es una regla formal para predecir cómo se desarrollará un juego. Estas predicciones se denominan "soluciones" y describen las estrategias que adoptarán los jugadores y, por lo tanto, el resultado del juego. Los conceptos de solución más utilizados son los de equilibrio , entre los que destaca el equilibrio de Nash .

En muchos juegos, diversos conceptos de solución arrojan más de una solución. Esto genera dudas sobre cualquiera de ellas, por lo que un teórico de juegos puede aplicar un refinamiento para reducir el número de soluciones. Cada concepto de solución que se presenta a continuación mejora al anterior al eliminar equilibrios inverosímiles en juegos más complejos.

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser la clase de todos los juegos y, para cada juego${\displaystyle G\in \Gamma }$, dejar${\displaystyle S_{G}}$ser el conjunto de perfiles estratégicos de${\displaystyle G}$Un concepto de solución es un elemento del producto directo .${\displaystyle \Pi _{G\in \Gamma }2^{S_{G}};}$es decir , una función${\displaystyle F:\Gamma \rightarrow \bigcup \nolimits _{G\in \Gamma }2^{S_{G}}}$de tal manera que${\displaystyle F(G)\subseteq S_{G}}$a pesar de${\displaystyle G\in \Gamma .}$

En este concepto de solución, se asume que los jugadores son racionales, por lo que las estrategias estrictamente dominadas se eliminan del conjunto de estrategias que podrían jugarse. Una estrategia está estrictamente dominada cuando existe alguna otra estrategia disponible para el jugador que siempre tiene una recompensa mayor, independientemente de las estrategias que elijan los demás jugadores. (Las estrategias estrictamente dominadas también son importantes en la búsqueda en árbol de juego minimax ). Por ejemplo, en el dilema del prisionero (de un solo período) (que se muestra a continuación), cooperar está estrictamente dominado por desertar para ambos jugadores porque cualquiera de ellos siempre está mejor jugando desertar , independientemente de lo que haga su oponente.

Un equilibrio de Nash es un perfil de estrategia (un perfil de estrategia especifica una estrategia para cada jugador, por ejemplo, en el juego del dilema del prisionero anterior ( cooperar , desertar ) se especifica que el prisionero 1 juega cooperar y el prisionero 2 juega desertar ) en el que cada estrategia jugada por cada agente (agente i) es una mejor respuesta a cualquier otra estrategia jugada por todos los demás oponentes (agentes j para cada j≠i). Una estrategia de un jugador es una mejor respuesta a la estrategia de otro jugador si no hay otra estrategia que se pueda jugar que produzca una recompensa mayor en cualquier situación en la que se juegue la estrategia del otro jugador.

En algunos juegos, existen múltiples equilibrios de Nash, pero no todos son realistas. En juegos dinámicos, la inducción hacia atrás puede utilizarse para eliminar los equilibrios de Nash irreales. La inducción hacia atrás presupone que los jugadores son racionales y tomarán las mejores decisiones en función de sus expectativas futuras. Esto elimina las amenazas no creíbles, es decir, aquellas que un jugador no llevaría a cabo si se le exigiera hacerlo.

Por ejemplo, consideremos un juego dinámico con una empresa dominante y un posible nuevo competidor en el sector. La empresa dominante tiene el monopolio y desea mantener su cuota de mercado. Si el nuevo competidor entra en el mercado, la empresa dominante puede luchar contra él o adaptarse. Si se adapta, el nuevo competidor entrará y obtendrá beneficios. Si lucha contra él, bajará sus precios, obligará al nuevo competidor a cerrar (incurriendo en costes de salida) y perjudicará sus propios beneficios.

La mejor respuesta para la empresa dominante si entra la nueva empresa es adaptarse, y la mejor respuesta para la nueva empresa si la empresa dominante se adapta es entrar. Esto da como resultado un equilibrio de Nash. Sin embargo, si la empresa dominante decide competir, la mejor respuesta para la nueva empresa es no entrar. Si la nueva empresa no entra, no importa lo que la empresa dominante decida hacer. Por lo tanto, competir puede considerarse la mejor respuesta para la empresa dominante si la nueva empresa no entra, lo que resulta en otro equilibrio de Nash.

Sin embargo, este segundo equilibrio de Nash puede eliminarse mediante inducción hacia atrás, ya que se basa en una amenaza poco creíble por parte de la empresa dominante. Para cuando esta última llegue al punto de decisión donde puede optar por competir, sería irracional hacerlo, puesto que la nueva empresa ya ha entrado en el mercado. Por lo tanto, la inducción hacia atrás elimina este equilibrio de Nash irreal.

Véase también:

• Teoría de la política monetaria
• Competencia de Stackelberg

Una generalización de la inducción hacia atrás es la perfección de subjuegos. La inducción hacia atrás supone que todo juego futuro será racional. En los equilibrios perfectos de subjuegos, el juego en cada subjuego es racional (específicamente un equilibrio de Nash). La inducción hacia atrás solo se puede usar en juegos finitos de duración definida y no se puede aplicar a juegos con información imperfecta . En estos casos, se puede usar la perfección de subjuegos. El equilibrio de Nash eliminado descrito anteriormente es imperfecto en cuanto a subjuegos porque no es un equilibrio de Nash del subjuego que comienza en el nodo alcanzado una vez que el participante ha entrado.

A veces, la perfección de subjuegos no impone una restricción suficientemente grande a los resultados irrazonables. Por ejemplo, dado que los subjuegos no pueden atravesar conjuntos de información , un juego con información imperfecta puede tener solo un subjuego (él mismo), y por lo tanto, la perfección de subjuegos no puede usarse para eliminar ningún equilibrio de Nash. Un equilibrio bayesiano perfecto (EBP) es una especificación de las estrategias y creencias de los jugadores sobre qué nodo del conjunto de información se ha alcanzado durante el juego. Una creencia sobre un nodo de decisión es la probabilidad de que un jugador en particular piense que ese nodo está o estará en juego (en la ruta de equilibrio ). En particular, la intuición del EBP es que especifica estrategias de jugadores que son racionales dadas las creencias de los jugadores que especifica, y las creencias que especifica son consistentes con las estrategias que especifica.

En un juego bayesiano, una estrategia determina la acción de un jugador en cada conjunto de información que controla. El requisito de que las creencias sean consistentes con las estrategias no está especificado por la perfección de subjuegos. Por lo tanto, el equilibrio de Nash (PBE) es una condición de consistencia en las creencias de los jugadores. Al igual que en un equilibrio de Nash, ninguna estrategia de jugador está estrictamente dominada; en un PBE, para cualquier conjunto de información, ninguna estrategia de jugador está estrictamente dominada a partir de ese conjunto. Es decir, para cada creencia que el jugador podría tener en ese conjunto de información, no existe ninguna estrategia que le proporcione una mayor recompensa esperada. A diferencia de los conceptos de solución anteriores, ninguna estrategia de jugador está estrictamente dominada a partir de ningún conjunto de información, incluso si se encuentra fuera de la trayectoria de equilibrio. Por lo tanto, en el PBE, los jugadores no pueden amenazar con jugar estrategias que estén estrictamente dominadas a partir de ningún conjunto de información fuera de la trayectoria de equilibrio.

El término "bayesiano" en el nombre de este concepto de solución alude al hecho de que los jugadores actualizan sus creencias según el teorema de Bayes . Calculan probabilidades en función de lo que ya ha ocurrido en el juego.

La inducción hacia adelante se denomina así porque, al igual que la inducción hacia atrás presupone que el juego futuro será racional, la inducción hacia adelante presupone que el juego pasado fue racional. Cuando un jugador desconoce el tipo de otro jugador (es decir, existe información imperfecta y asimétrica), puede formarse una idea del tipo de ese jugador observando sus acciones pasadas. Por lo tanto, la creencia que se forma ese jugador sobre la probabilidad de que el oponente sea de un tipo determinado se basa en que el juego pasado de ese oponente fue racional. Un jugador puede optar por indicar su tipo a través de sus acciones.

Kohlberg y Mertens (1986) introdujeron el concepto de equilibrio estable, un refinamiento que satisface la inducción hacia adelante. Se encontró un contraejemplo en el que dicho equilibrio estable no satisfacía la inducción hacia atrás. Para resolver el problema, Jean-François Mertens introdujo lo que los teóricos de juegos denominan ahora el concepto de equilibrio estable de Mertens , probablemente el primer concepto de solución que satisface tanto la inducción hacia adelante como la inducción hacia atrás.

La inducción hacia adelante proporciona una solución única para el juego del dinero que se quema .

• Juego de formato extenso
• Equilibrio de la mano temblorosa
• " El criterio intuitivo " ( Cho y Kreps, 1987 )

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