Problema de incrustación

En la teoría de Galois , una rama de las matemáticas , el problema de incrustación es una generalización del problema inverso de Galois . En términos generales, plantea la cuestión de si una extensión de Galois dada puede incrustarse en otra extensión de Galois de tal manera que se dé la aplicación de restricción entre los grupos de Galois correspondientes.

Dado un cuerpo K y un grupo finito H , se puede plantear la siguiente pregunta (el llamado problema inverso de Galois ): ¿Existe una extensión de Galois F/K con grupo de Galois isomorfo a H ? El problema de incrustación es una generalización de este problema: 

Sea L/K una extensión de Galois con grupo de Galois G y sea f  : H → G un epimorfismo. ¿Existe una extensión de Galois F/K con grupo de Galois H y una incrustación α : L → F que fija K bajo la cual la aplicación de restricción del grupo de Galois de F/K al grupo de Galois de L/K coincide con f ?        

De forma análoga, un problema de incrustación para un grupo profinito F consta de los siguientes datos: dos grupos profinitos H y G y dos epimorfismos continuos φ  : F → G y f : H → G . Se dice que el problema de incrustación es finito si el grupo H lo es. Una solución (a veces también llamada solución débil) de dicho problema de incrustación es un homomorfismo continuo γ : F → H tal que φ = f γ . Si la solución es sobreyectiva, se denomina solución propia .         

Los problemas de incrustación finita caracterizan a los grupos profinitos. El siguiente teorema ilustra este principio.

Teorema. Sea F un grupo profinito numerable (topológicamente) generado. Entonces

1. F es proyectivo si y solo si cualquier problema de incrustación finito para F es resoluble.
2. F es libre de rango contable si y solo si cualquier problema de incrustación finito para F es propiamente resoluble.

• Introducción a los grupos profinitos y la cohomología de Galois . Queen's Pap. Pure Appl. Math. Vol.  24. Queen's University, Kingston, Ontario. 1970. MR 0260875 . Zbl 0221.12013 .  
• El problema de la incrustación en la teoría de Galois . Traducciones de monografías matemáticas. Vol.  165. 1997. doi : 10.1090/mmone/165 . ISBN 9780821845929.
• Frito, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol.  11.doi : 10.1007 /978-3-540-77270-5 . ISBN 978-3-540-77269-9.
• Problemas de incrustación de tipo Brauer . Monografías del Fields Institute. Vol.  21. 2005. doi : 10.1090/fim/021 . ISBN 9780821837269.
• Vahid Shirbisheh, Galois incorpora problemas con núcleos abelianos de exponente p VDM Verlag Dr. Müller , ISBN 978-3-639-14067-5, (2009).